33-36 Derive f e encontre o domínio de f.
33. f(x)=x1-ln (x-1)
34. f(x)=raiz2+ln x

Passo 1

Temos duas funções para as quais queremos determinar o domínio e a derivada. O conteúdo envolvido é análise de domínio (condições de existência de logaritmo, raiz e não anular denominador) e aplicação das regras de derivação (regra do quociente e regra da cadeia).

Passo 2

Para f(x)=x1-ln(x-1) o logaritmo exige
x-1>0Longrightarrow x>1
Além disso, o denominador não pode ser zero:
1-ln(x-1)neq0Longrightarrowln(x-1)neq1Longrightarrow x-1neq eLongrightarrow xneq e+1
Logo o domínio é
D33=(1,,1+e)cup(1+e,,infty)

Passo 3

Para derivar f(x)=x1-ln(x-1) usamos a regra do quociente:
f'(x) =(1)l(1-ln(x-1)r)-xl(-tfrac1x-1r)l(1-ln(x-1)r)^2
No numerador:
1-ln(x-1)+x,x-1,
Podemos deixar a derivada como
f'(x) =1-ln(x-1)+xx-1l(1-ln(x-1)r)^2

Passo 4

Para f(x)=raiz2+ln x o radicando deve ser não negativo e o logaritmo existe se x>0:
2+ln x>=0Longrightarrowln x>=-2Longrightarrow x>= e^-2
Portanto o domínio é
D34=l[e^-2,,inftyr)

Passo 5

Para derivar f(x)=raiz2+ln x=(2+ln x)^tfrac12 usamos a regra da cadeia:
f'(x) =tfrac12,(2+ln x)^-tfrac12cdotddx(ln x) =12raiz2+ln xcdot1x =12xraiz2+ln x

Resposta

  1. Domínio: (1,,1+e)cup(1+e,,infty).
    f'(x)=1-ln(x-1)+xx-1l(1-ln(x-1)r)^2.
  2. Domínio: l[e^-2,,inftyr).
    f'(x)=12xraiz2+ln x.

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