Determine a solução geral da equação diferencial dada
y^v-6 y^i v+13 y^prime prime prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y^(5) - 6,y^(4) + 13,y^(3) = 0
Vamos resolver usando o método do polinômio característico.

Passo 2

Supondo uma solução da forma y=e^r x, temos
r^5 - 6r^4 + 13r^3 = 0
que é o polinômio característico associado à EDO.

Passo 3

Fatorando r^3 obtemos
r^3,(r^2 - 6r + 13) = 0

Passo 4

As raízes são
  • r=0 de multiplicidade 3 (da fatoração r^3),
  • e as raízes da equação quadrática r^2 -6r +13=0, que são
r = 6 pm raiz36 - 522 = 3 pm 2,i

Passo 5

Como r=0 é raiz tripla, gera os termos lineares 1, x, x^2. As raízes complexas conjugadas 3pm2i geram o fator e^3x(cos2x,sin2x). Assim, a solução geral é
y(x) = C1 + C2,x + C3,x^2 + e^3xl(C4cos(2x)+C5sin(2x)r),
onde C1,dots,C5 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + C3,x^2 + e^3xl(C4cos(2x)+C5sin(2x)r)

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