Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Resolva os problemas de valor inicial (PVI):
y^prime prime+y^prime-2 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o problema de valor inicial
y'' + y' - 2y = 0, y(0)=0, y'(0)=1
Trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à equação homogênea:
r^2 + r - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 + r -2 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
obtemos as raízes
r1 = 1, r2 = -2

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^-2x

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(x) = C1 e^x -2,C2 e^-2x
Aplicando as condições iniciais:
De y(0)=0 segue
C1 + C2 = 0 Longrightarrow C2 = -C1
De y'(0)=1 segue
C1 - 2C2 = 1
Substituindo C2 = -C1 obtemos
C1 + 2C1 = 3C1 = 1 Longrightarrow C1 = tfrac13,
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C2 = -tfrac13

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, resulta
y(x) = 13e^x - 13e^-2x = 13l(e^x - e^-2xr)

Resposta

y(x) = 13l(e^x - e^-2xr)

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