Determine o volume de cada sólido de revolução a seguir
Sólido gerado pela rotação da região entre
e
em torno do eixo
no intervalo
.
Sólido gerado pela rotação da região entre
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
(reta) e
(cúbica), para
variando de
a
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é bem natural quando giramos uma região vertical em torno do eixo vertical.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas, escolhemos uma “fatia” vertical em
de espessura
.
- A altura da casca vem da diferença entre o valor de cima e o de baixo:
- O raio da casca até o eixo
é simplesmente . - Então o volume de cada casca elementar é
Logo, o volume total é
Passo 3
Agora basta calcular a integral:
logo
Substituindo em
: