Determine o volume de cada sólido de revolução a seguir
Sólido gerado pela rotação da região entre y=x e y=x^3 em torno do eixo y no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas y=x (reta) e y=x^3 (cúbica), para x variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é bem natural quando giramos uma região vertical em torno do eixo vertical.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, escolhemos uma “fatia” vertical em x de espessura dx.
  • A altura da casca vem da diferença entre o valor de cima e o de baixo: a<ura = x - x^3
  • O raio da casca até o eixo y é simplesmente x.
  • Então o volume de cada casca elementar é dV = 2pi times (raio) times (a<ura) ,dx = 2pi,x,(x - x^3),dx = 2pi,(x^2 - x^4),dx
Logo, o volume total é
V = 2pi integral0^1 l(x^2 - x^4r),dx

Passo 3

Agora basta calcular a integral:
integral0^1 x^2,dx = 13, integral0^1 x^4,dx = 15,
logo
integral0^1 l(x^2 - x^4r),dx = 13 - 15 = 5 - 315 = 215
Substituindo em V:
V = 2pi times 215 = 4pi15

Resposta

4pi15

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