Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
\mathscr{L}\{7 t+3\}

Passo 1

Você me pediu para determinar a transformada de Laplace da função \mathscr{L}\{7 t+3\}.
Informações fornecidas: a função a transformar é f(t)=7t+3 definida para t\ge 0.
O que o problema pede: calcular a expressão de \mathscr{L}\{7t+3\} em termos da variável complexa real s (ou seja, obter uma fórmula em s) e indicar a região de convergência necessária.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace — isso é a base que você precisa saber para aplicar direto na prova. A definição é:
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.
Aqui:
  • f(t) é a função de tempo (no nosso caso f(t)=7t+3);
  • s é a variável complexa da transformada (para convergência vamos exigir s>0 no nosso exemplo real);
  • a integral é imprópria: precisamos checar que ela converge (normalmente exigimos s>0 para funções polinomiais multiplicadas por e^{-st}).

Passo 3

A transformada de Laplace é linear, ou seja:
\mathscr{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathscr{L}\{f(t)\}+b\,\mathscr{L}\{g(t)\},
para constantes a,b. Vou usar isso para separar 7t+3 em duas partes:
\mathscr{L}\{7t+3\}=7\,\mathscr{L}\{t\}+3\,\mathscr{L}\{1\}.
Agora calculamos \mathscr{L}\{1\} e \mathscr{L}\{t\} separadamente.

Passo 4

Calcular \mathscr{L}\{1\}. Pela definição:
\mathscr{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 1\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Essa integral é elementar: para s>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \right]_{0}^{\infty}.
Avaliando os extremos: quando t\to\infty temos e^{-st}\to 0 (porque s>0), e em t=0 temos e^{-s\cdot 0}=1. Logo
\mathscr{L}\{1\}(s) = 0 -\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}.
Portanto \mathscr{L}\{1\}=\dfrac{1}{s} para s>0.

Passo 5

Calcular \mathscr{L}\{t\}. Pela definição:
\mathscr{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\,dt.
Aqui usamos integração por partes. Lembra a fórmula: se u(t) e v(t) são funções diferenciáveis então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=t (assim du=dt) e dv=e^{-st}dt (assim v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-st}). Aplicando:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \left. t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\,dt.
Simplificando os sinais:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}\left.\bigl(t e^{-st}\bigr)\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.

Passo 6

Agora avaliamos os termos. Primeiro o limite \displaystyle \lim_{t\to\infty} t e^{-st}. Para s>0 a exponencial domina o polinômio e esse limite vale 0. (Se quiser, dá para justificar com a regra de L’Hôpital: escreva t e^{-st}=\dfrac{t}{e^{st}} e aplique L’Hôpital.) Em t=0 o produto é 0\cdot e^{0}=0. Portanto o primeiro termo é zero:
-\frac{1}{s}\left.\bigl(t e^{-st}\bigr)\right|_{0}^{\infty}=0.
O segundo termo já calculamos antes:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}.
Logo
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto \mathscr{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para s>0.

Passo 7

Voltando à linearidade (Passo 3) e substituindo os resultados:
\mathscr{L}\{7t+3\}=7\cdot\mathscr{L}\{t\}+3\cdot\mathscr{L}\{1\}=7\cdot\frac{1}{s^{2}}+3\cdot\frac{1}{s}.
Podemos deixar nessa forma ou juntar em uma fração única:
\mathscr{L}\{7t+3\}(s)=\frac{7}{s^{2}}+\frac{3}{s}=\frac{7+3s}{s^{2}}.
A região de convergência usada em todos os passos foi s>0, porque precisamos que as integrais impropriamente definidas convergam.

Resposta

\mathscr{L}\{7t+3\}(s)=\dfrac{7}{s^{2}}+\dfrac{3}{s}

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