Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: \mathscr{L}\{7 t+3\}
Passo 1
Você me pediu para determinar a transformada de Laplace da função \mathscr{L}\{7 t+3\}.
Informações fornecidas: a função a transformar é f(t)=7t+3 definida para t\ge 0.
O que o problema pede: calcular a expressão de \mathscr{L}\{7t+3\} em termos da variável complexa real s (ou seja, obter uma fórmula em s) e indicar a região de convergência necessária.
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace — isso é a base que você precisa saber para aplicar direto na prova. A definição é:
Aqui usamos integração por partes. Lembra a fórmula: se u(t) e v(t) são funções diferenciáveis então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=t (assim du=dt) e dv=e^{-st}dt (assim v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-st}). Aplicando:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \left. t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\,dt.
Simplificando os sinais:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}\left.\bigl(t e^{-st}\bigr)\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Passo 6
Agora avaliamos os termos. Primeiro o limite \displaystyle \lim_{t\to\infty} t e^{-st}. Para s>0 a exponencial domina o polinômio e esse limite vale 0. (Se quiser, dá para justificar com a regra de L’Hôpital: escreva t e^{-st}=\dfrac{t}{e^{st}} e aplique L’Hôpital.) Em t=0 o produto é 0\cdot e^{0}=0. Portanto o primeiro termo é zero: