33 Uma barra de comprimento L e coeficiente de dilatação a se encontra sobre uma superfície horizontal lisa. Seu extremo esquerdo se encontra em contato com uma parede rígida. Ao aumentar a temperatura da barra seu centro de massa se desloca para a direita de um valor de
. Determine a variação de temperatura da barra.
Passo 1
O enunciado dá uma barra homogênea de comprimento
sobre uma superfície horizontal lisa, com o extremo esquerdo em contato com uma parede rígida. Ao aquecer a barra, seu centro de massa desloca-se para a direita de um valor
. O que o problema pede é a variação de temperatura
da barra, em função de
, do coeficiente de dilatação linear
e do deslocamento do centro
. Dados relevantes listados:
- comprimento inicial da barra:
; - coeficiente de dilatação linear:
; - deslocamento do centro de massa para a direita:
; - o extremo esquerdo permanece em contato com a parede (não entra na parede), e a superfície é lisa (sem atrito).
Passo 2
Conceito essencial: dilatação linear de uma barra. Quando a temperatura de uma barra aumenta de
, seu comprimento aumenta segundo a lei linear (válida para pequenas variações de temperatura):
onde
é o aumento do comprimento,
é o coeficiente de dilatação linear (unidade normalmente
) e
é o comprimento inicial. Explicando:
mede quanto a unidade de comprimento aumenta por grau de temperatura; multiplicando por
e por
obtemos o aumento total.
Passo 3
Posição do centro de massa antes do aquecimento. Para uma barra homogênea e retilínea, o centro de massa está no ponto médio. Como o extremo esquerdo está na parede e tomamos a parede como origem
, a posição inicial do centro de massa é
Expliquei: “homogênea” significa densidade constante ao longo da barra, então o centro é o meio.
Passo 4
Comprimento e posição do centro após aquecimento. Após aquecer, o comprimento final será
Como o extremo esquerdo continua em
(em contato com a parede) e a barra cresce para a direita, o novo centro de massa estará no meio do novo comprimento:
Passo 5
Deslocamento do centro de massa e relação com
. O deslocamento do centro é a diferença entre a posição final e inicial:
Fazendo a subtração:
Portanto obtemos a relação simples
Passo 6
Isolando
para responder ao problema. Da relação anterior:
Verificações rápidas: unidades —
e
em metros,
em
, então
sai em kelvin; se
então
; se
pequena,
maior para produzir o mesmo deslocamento — tudo faz sentido. Força e atrito não entram porque a superfície é lisa e o extremo esquerdo permanece na parede.