33 Uma barra de comprimento L e coeficiente de dilatação a se encontra sobre uma superfície horizontal lisa. Seu extremo esquerdo se encontra em contato com uma parede rígida. Ao aumentar a temperatura da barra seu centro de massa se desloca para a direita de um valor de \Delta x. Determine a variação de temperatura da barra.

Passo 1

O enunciado dá uma barra homogênea de comprimento L sobre uma superfície horizontal lisa, com o extremo esquerdo em contato com uma parede rígida. Ao aquecer a barra, seu centro de massa desloca-se para a direita de um valor \Delta x. O que o problema pede é a variação de temperatura \Delta T da barra, em função de L, do coeficiente de dilatação linear \alpha e do deslocamento do centro \Delta x. Dados relevantes listados:
  • comprimento inicial da barra: L;
  • coeficiente de dilatação linear: \alpha;
  • deslocamento do centro de massa para a direita: \Delta x;
  • o extremo esquerdo permanece em contato com a parede (não entra na parede), e a superfície é lisa (sem atrito).

Passo 2

Conceito essencial: dilatação linear de uma barra. Quando a temperatura de uma barra aumenta de \Delta T, seu comprimento aumenta segundo a lei linear (válida para pequenas variações de temperatura):
\Delta L = \alpha\,L\,\Delta T,
onde \Delta L é o aumento do comprimento, \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade normalmente \text{K}^{-1}) e L é o comprimento inicial. Explicando: \alpha mede quanto a unidade de comprimento aumenta por grau de temperatura; multiplicando por L e por \Delta T obtemos o aumento total.

Passo 3

Posição do centro de massa antes do aquecimento. Para uma barra homogênea e retilínea, o centro de massa está no ponto médio. Como o extremo esquerdo está na parede e tomamos a parede como origem x=0, a posição inicial do centro de massa é
x_{\text{ini}}=\frac{L}{2}.
Expliquei: “homogênea” significa densidade constante ao longo da barra, então o centro é o meio.

Passo 4

Comprimento e posição do centro após aquecimento. Após aquecer, o comprimento final será
L_{\text{f}}=L+\Delta L = L+\alpha\,L\,\Delta T = L(1+\alpha\,\Delta T).
Como o extremo esquerdo continua em x=0 (em contato com a parede) e a barra cresce para a direita, o novo centro de massa estará no meio do novo comprimento:
x_{\text{fim}}=\frac{L_{\text{f}}}{2}=\frac{L(1+\alpha\,\Delta T)}{2}.

Passo 5

Deslocamento do centro de massa e relação com \Delta T. O deslocamento do centro é a diferença entre a posição final e inicial:
\Delta x = x_{\text{fim}}-x_{\text{ini}}=\frac{L(1+\alpha\,\Delta T)}{2}-\frac{L}{2}.
Fazendo a subtração:
\Delta x = \frac{L}{2}\bigl(1+\alpha\,\Delta T - 1\bigr)=\frac{L}{2}\,\alpha\,\Delta T.
Portanto obtemos a relação simples
\Delta x = \frac{\alpha\,L\,\Delta T}{2}.

Passo 6

Isolando \Delta T para responder ao problema. Da relação anterior:
\Delta T = \frac{2\,\Delta x}{\alpha\,L}.
Verificações rápidas: unidades — \Delta x e L em metros, \alpha em \text{K}^{-1}, então \Delta T sai em kelvin; se \Delta x=0 então \Delta T=0; se \alpha pequena, \Delta T maior para produzir o mesmo deslocamento — tudo faz sentido. Força e atrito não entram porque a superfície é lisa e o extremo esquerdo permanece na parede.

Resposta

\Delta T=\dfrac{2\,\Delta x}{\alpha\,L}

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