(3.33 Uma carga pontual
está localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Quanto vale
fluxo
que atravessa a porção do plano
limitada por
;
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Uma carga pontual
. Escreverei isso em unidades SI: . - A carga está localizada na origem:
. - A superfície é a porção do plano
limitada por e . Ou seja, é um quadrado centrado sobre o eixo , a distância da carga, com meio-lado (metade do comprimento total em ) e meio-lado (em ). - O que se pede: o fluxo elétrico
que atravessa essa porção do plano .
Passo 2
Conceito de fluxo elétrico e expressão geral.
- O campo elétrico de uma carga pontual é
onde
é a distância do ponto da carga e
é o vetor unitário radial.
- O fluxo elétrico através de uma superfície
com vetor área é
- Para superfícies vistas desde a carga, é muito útil usar o conceito de ângulo sólido
. A definição do ângulo sólido subtendido por visto da carga é
Comparando com a expressão do fluxo, obtemos a relação muito prática
(Isto é equivalente a dizer que a fração do fluxo total
que atravessa
é
.)
Passo 3
Aplicando o conceito ao nosso caso: identificar a geometria para calcular
.
- A superfície é um quadrado plano em
com , . Como a carga está em e o quadrado é simétrico em torno do eixo , há uma fórmula conhecida e conveniente para o ângulo sólido subtendido por um retângulo simétrico de meios-lados e situado a uma distância perpendicular à origem:
onde
e
são os meios-lados do retângulo (neste caso
) e
é a distância perpendicular da carga ao plano (aqui
).
- Justificativa curta dessa escolha: integrar diretamente
dá uma integral dupla com que é trabalhosa; o método do ângulo sólido fornece uma fórmula fechada e é o caminho usual para esse tipo de superfície plana vista de uma carga pontual.
Passo 4
Determinar os parâmetros e avaliar o argumento do arco-tangente.
- Aqui
, , . Calcular e :
- Assim o argumento do
é
Passo 5
Calcular o ângulo sólido
.
- Usando a fórmula,
- Podemos avaliar numericamente
. Em radianos
logo
Passo 6
Expressar o fluxo em termos de
e simplificar a expressão algébrica antes da numérica.
- Pela relação do Passo 2:
- Substituindo
obtemos uma forma conveniente:
(Essa forma é útil porque elimina o fator
em cima de
.)
Passo 7
Calcular numericamente
com os valores dados.
- Valores numéricos:
- Primeiro calcular o coeficiente
:
- Multiplicando pelo
:
Passo 8
Interpretação rápida e verificação de consistência.
- O fluxo total por uma esfera ao redor da carga seria
. A fração do espaço sólido coberta pelo quadrado é . Multiplicando dá , consistente com o valor encontrado.