(3.33 Uma carga pontual Q=3 \mathrm{nC} está localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Quanto vale o fluxo \Psi que atravessa a porção do plano z=2 limitada por -4 \leqslant y \leqslant 4 \mathrm{~m}; -4 \leqslant x \leqslant 4 \mathrm{~m} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Uma carga pontual Q=3\,\mathrm{nC}. Escreverei isso em unidades SI: Q=3\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • A carga está localizada na origem: (0,0,0).
  • A superfície é a porção do plano z=2 limitada por -4\le x\le4 e -4\le y\le4. Ou seja, é um quadrado centrado sobre o eixo z, a distância z=2 da carga, com meio-lado a=4\\ \mathrm{m} (metade do comprimento total em x) e meio-lado b=4\\ \mathrm{m} (em y).
  • O que se pede: o fluxo elétrico \Psi que atravessa essa porção do plano z=2.

Passo 2

Conceito de fluxo elétrico e expressão geral.
  • O campo elétrico de uma carga pontual é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{r}}{r^2},
onde r é a distância do ponto da carga e \hat{r} é o vetor unitário radial.
  • O fluxo elétrico através de uma superfície S com vetor área \mathrm{d}\mathbf{A}=\hat{n}\,\mathrm{d}A é
\Psi=\iint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}.
  • Para superfícies vistas desde a carga, é muito útil usar o conceito de ângulo sólido \Omega. A definição do ângulo sólido subtendido por S visto da carga é
\Omega=\iint_S \frac{\hat{r}\cdot\hat{n}}{r^2}\,\mathrm{d}A.
Comparando com a expressão do fluxo, obtemos a relação muito prática
\Psi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\Omega.
(Isto é equivalente a dizer que a fração do fluxo total Q/\varepsilon_0 que atravessa S é \Omega/(4\pi).)

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: identificar a geometria para calcular \Omega.
  • A superfície é um quadrado plano em z=2 com -4\le x\le4, -4\le y\le4. Como a carga está em (0,0,0) e o quadrado é simétrico em torno do eixo z, há uma fórmula conhecida e conveniente para o ângulo sólido subtendido por um retângulo simétrico de meios-lados a e b situado a uma distância z perpendicular à origem:
\Omega=4\arctan\!\left(\frac{ab}{z\sqrt{z^2+a^2+b^2}}\right),
onde a e b são os meios-lados do retângulo (neste caso a=b=4\\ \mathrm{m}) e z é a distância perpendicular da carga ao plano (aqui z=2\\ \mathrm{m}).
  • Justificativa curta dessa escolha: integrar diretamente \iint E_z\,\mathrm{d}A dá uma integral dupla com (x^2+y^2+z^2)^{-3/2} que é trabalhosa; o método do ângulo sólido fornece uma fórmula fechada e é o caminho usual para esse tipo de superfície plana vista de uma carga pontual.

Passo 4

Determinar os parâmetros e avaliar o argumento do arco-tangente.
  • Aqui a=4, b=4, z=2. Calcular ab e \sqrt{z^2+a^2+b^2}:
ab = 4\cdot4 = 16,
z^2+a^2+b^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36,
\sqrt{z^2+a^2+b^2} = \sqrt{36} = 6.
  • Assim o argumento do \arctan é
\frac{ab}{z\sqrt{z^2+a^2+b^2}}=\frac{16}{2\cdot6}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.

Passo 5

Calcular o ângulo sólido \Omega.
  • Usando a fórmula,
\Omega = 4\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right).
  • Podemos avaliar numericamente \arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right). Em radianos
\arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx0,9273\\ (\text{rad}),
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\Omega \approx 4\cdot0,9273 = 3,7092\\ (\text{sr}).

Passo 6

Expressar o fluxo em termos de \Omega e simplificar a expressão algébrica antes da numérica.
  • Pela relação do Passo 2:
\Psi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\Omega.
  • Substituindo \Omega=4\arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right) obtemos uma forma conveniente:
\Psi=\frac{Q}{\pi\varepsilon_0}\,\arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right).
(Essa forma é útil porque elimina o fator 4 em cima de \arctan.)

Passo 7

Calcular numericamente \Psi com os valores dados.
  • Valores numéricos:
Q=3\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx0,927295218.
  • Primeiro calcular o coeficiente \dfrac{Q}{\pi\varepsilon_0}:
\frac{Q}{\pi\varepsilon_0}=\frac{3\times10^{-9}}{\pi\cdot8{,}854187817\times10^{-12}}\approx107{,}85\\ \text{(unidades de N·m}^2\text{/C)}.
  • Multiplicando pelo \arctan:
\Psi \approx 107{,}85 \times 0,927295218 \approx 100{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Passo 8

Interpretação rápida e verificação de consistência.
  • O fluxo total por uma esfera ao redor da carga seria \dfrac{Q}{\varepsilon_0}\approx 3\times10^{-9}/8{,}85\times10^{-12}\approx338{,}8\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}. A fração do espaço sólido coberta pelo quadrado é \Omega/(4\pi)\approx3{,}7092/(4\pi)\approx0{,}295. Multiplicando dá \Psi\approx338{,}8\times0{,}295\approx100, consistente com o valor encontrado.

Resposta

\Psi \approx 1,00\times10^{2}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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