34 Sem desenvolver os determinantes, calcule o valor de:
y=\left|\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 6 & 15 \end{array}\right|+2 \cdot\left|\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 7 & 9 \\ 0 & -1 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 14 & 18 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 0 & 5 \\ 1 & \sqrt{3} & 1 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular
y = \begin{vmatrix}2 & 5\\6 & 15\end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -1 & 2 & 5\\ 1 & 3 & 7 & 9\\ 0 & -1 & 4 & 5\\ 2 & 6 & 14 & 18 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & -2 & 3\\ 5 & 0 & 5\\ 1 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} sem desenvolver cada determinante. Vamos usar a propriedade de que, se duas linhas ou duas colunas são proporcionais, o determinante é zero.ãé

Passo 2

No determinante
\begin{vmatrix}2 & 5\\\ 6 & 15\end{vmatrix}
as duas linhas são proporcionais (a segunda é 3 vezes a primeira), logo
\begin{vmatrix}2 & 5\\\ 6 & 15\end{vmatrix} = 0.

Passo 3

No determinante
\begin{vmatrix} 4 & -1 & 2 & 5\\\\ 1 & 3 & 7 & 9\\\\ 0 & -1 & 4 & 5\\\\ 2 & 6 & 14 & 18 \end{vmatrix}
a quarta linha é o dobro da segunda (linha 4 =2\!\times linha 2), logo
\begin{vmatrix} 4 & -1 & 2 & 5\\\\ 1 & 3 & 7 & 9\\\\ 0 & -1 & 4 & 5\\\\ 2 & 6 & 14 & 18 \end{vmatrix} = 0.

Passo 4

No determinante
\begin{vmatrix} 3 & -2 & 3\\\\ 5 & 0 & 5\\\\ 1 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix}
as colunas 1 e 3 são idênticas \bigl([3,5,1]^T\emph{)}, então
\begin{vmatrix} 3 & -2 & 3\\\\ 5 & 0 & 5\\\\ 1 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = 0.

Resposta

y = 0 + 2\cdot 0 + 0 = 0.

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