3.33 Se F=x^2 ax+y^2 ay+(z^2-1) av encontre ointS F cdot d S, onde S é definido por rho=2,0<z<2,0 <= phi <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F=x^2,ax+y^2,ay+l(z^2-1r),az
e pede o fluxo ointSFcdot dS através da superfície lateral do cilindro de raio 2 e altura 2, ou seja definida por rho=2, 0<=phi<=2pi, 0<= z<=2. Vamos usar coordenadas cilíndricas, parametrizar essa superfície e calcular diretamente o fluxo.

Passo 2

Na parametrização cilíndrica da superfície lateral temos
x=2cosphi, y=2sinphi, z=z,
com phiin[0,2pi] e zin[0,2]. O vetor normal unitário externo é n=arho.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas o produto escalar com arho é
Fcdotn =Fcdotarho =Fxcosphi+Fysinphi =x^2cosphi+y^2sinphi

Passo 4

No cilindro x=2cosphi e y=2sinphi, logo
x^2=4cos^2phi, y^2=4sin^2phi Longrightarrow Fcdotn =4cos^2phicosphi+4sin^2phisinphi =4l(cos^3phi+sin^3phir)

Passo 5

O elemento de área da superfície lateral é dS=rho,dphi,dz=2,dphi,dz. Assim o fluxo é
ointSFcdot dS =integral0^2!!integral0^2pi 4l(cos^3phi+sin^3phir),(2,dphi,dz) =8integral0^2!dzintegral0^2pi!l(cos^3phi+sin^3phir),dphi

Passo 6

Como em um período completo
integral0^2picos^3phi,dphi =0 e integral0^2pisin^3phi,dphi =0,
segue que o fluxo total é zero.

Resposta

ointSFcdot dS=0

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