Problema 3.44:
3.44 Dado o campo vetorial
G=(16 x y-z) ax+8 x^2 ay-x az
(a) G é irrotacional (ou conservativo)?
(b) Encontre o fluxo líquido de G através do cubo 0<x, y, z<1.
(c) Determine a circulação de G no contorno do quadrado $z=0,0<x, y<1.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o campo
G=(16xy - z),ax + 8x^2,ay - x,az
(a) Verificar se é irrotacional (ou seja, conservativo) calculando o rotacional nablatimesG.
(b) Calcular o fluxo líquido de G através do cubo 0<x,y,z<1 usando o Teorema da Divergência (que diz Phi = integral triplaV (nablacdotG),dV).
(c) Calcular a circulação ointC Gcdot dl no contorno do quadrado z=0,;0<x,y<1. Como vimos em (a), se for conservativo, essa integral fechada dá zero.

Passo 2

(a) Vamos calcular o rotacional nablatimesG. A definição em coordenadas cartesianas é
nablatimesG = ax & ay & az partialx & partialy & partialz 16xy - z & 8x^2 & -x
Isso dá componente a componente:
  • (nablatimesG)x = partial(-x)partial y - partial(8x^2)partial z = 0 - 0 = 0.
  • (nablatimesG)y = partial(16xy - z)partial z - partial(-x)partial x = (-1) - (-1) = 0.
  • (nablatimesG)z = partial(8x^2)partial x - partial(16xy - z)partial y =16x - 16x = 0.
    Logo nablatimesG=(0,0,0), ou seja, o campo é irrotacional (conservativo).

Passo 3

(b) Para o fluxo pelo cubo 0<x,y,z<1 usamos o Teorema da Divergência:
Phi = integral triplaV (nablacdotG),dV
Primeiro a divergência:
nablacdotG =partialpartial x(16xy - z) +partialpartial y(8x^2) +partialpartial z(-x) =16y + 0 + 0 = 16y
Então
Phi = integral0^1!integral0^1!integral0^1 16y ,dz,dy,dx =16 integral0^1!integral0^1! y ,dy,dx =16l[tfracy^22r]0^1!!cdotl[xr]0^1 =16cdottfrac12cdot1 =8

Passo 4

(c) Como G é conservativo, qualquer circulação em caminho fechado vale zero:
ointC Gcdot dl=0

Resposta

(a) Sim, .
(c) Circulação no contorno do quadrado = .)

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