(a) G é irrotacional (ou conservativo)?
(b) Encontre o fluxo líquido de através do cubo .
(c) Determine a circulação de no contorno do quadrado $z=0,0<x, y<1.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o campo
(a) Verificar se é irrotacional (ou seja, conservativo) calculando o rotacional .
(b) Calcular o fluxo líquido de através do cubo usando o Teorema da Divergência (que diz ).
(c) Calcular a circulação no contorno do quadrado . Como vimos em (a), se for conservativo, essa integral fechada dá zero.
Passo 2
(a) Vamos calcular o rotacional . A definição em coordenadas cartesianas é
Isso dá componente a componente:
(nablatimesG)x = partial(-x)partial y - partial(8x^2)partial z = 0 - 0 = 0.
(nablatimesG)y = partial(16xy - z)partial z - partial(-x)partial x = (-1) - (-1) = 0.
(nablatimesG)z = partial(8x^2)partial x - partial(16xy - z)partial y =16x - 16x = 0.
Logo nablatimesG=(0,0,0), ou seja, o campo é irrotacional (conservativo).
Passo 3
(b) Para o fluxo pelo cubo 0<x,y,z<1 usamos o Teorema da Divergência: