Calcule a área da região compreendida entre:
as parábolas y=x^2, y=x^22 e a reta y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre duas parábolas, y = x^2 e y = x^22 , e também entre a reta y = 2x . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como encontrar pontos de interseção e integrar funções. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas curvas se cruzam. Isso é importante porque define os limites de integração para calcular a área. Vamos igualar as funções duas a duas para achar esses pontos.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre as parábolas y = x^2 e y = x^22 :
x^2 = x^22
Subtraindo x^22 de ambos os lados:
x^2 - x^22 = 0 implies x^22 = 0 implies x = 0
Então, as parábolas se encontram no ponto (0, 0) .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a reta y = 2x intercepta cada uma das parábolas.
Primeiro, com y = x^2 :
2x = x^2 implies x^2 - 2x = 0 implies x(x - 2) = 0 implies x = 0 ou x = 2
Então, os pontos de interseção são (0, 0) e (2, 4) .
Agora, com y = x^22 :
2x = x^22 implies x^2 - 4x = 0 implies x(x - 4) = 0 implies x = 0 ou x = 4
Os pontos de interseção são (0, 0) e (4, 8) .

Passo 5

Agora que temos todos os pontos de interseção, vamos visualizar a área que queremos calcular. Entre x = 0 e x = 2 , a reta y = 2x está acima das parábolas. Entre x = 2 e x = 4 , a parábola y = x^22 fica acima da reta.

Passo 6

Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. De x = 0 a x = 2 : a reta y = 2x está acima das parábolas.
  2. De x = 2 a x = 4 : a parábola y = x^22 está acima da reta y = 2x .

Passo 7

Para a primeira parte, a área A1 é a diferença entre a reta y = 2x e a parábola y = x^2 :
A1 = integral0^2 (2x - x^2) , dx
Vamos integrar:
A1 = [ x^2 - x^33 ]0^2 = (4 - 83) - (0 - 0) = 123 - 83 = 43

Passo 8

Para a segunda parte, a área A2 é a diferença entre a parábola y = x^22 e a reta y = 2x :
A2 = integral2^4 ( x^22 - 2x ) , dx
Vamos integrar:
A2 = [ x^36 - x^2 ]2^4 = ( 646 - 16 ) - ( 86 - 4 ) = ( 323 - 16 ) - ( 43 - 4 )
= ( 323 - 483 ) - ( 43 - 123 ) = ( -163 ) - ( -83 ) = -163 + 83 = -83
Como área não pode ser negativa, pegamos o valor positivo:
A2 = 83

Passo 9

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total A :
A = A1 + A2 = 43 + 83 = 123 = 4

Resposta

A área da região compreendida entre as curvas é 4 unidades de área.

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