Calcule a área da região compreendida entre:
as parábolas
e a reta
.
as parábolas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre duas parábolas,
e
, e também entre a reta
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como encontrar pontos de interseção e integrar funções. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas curvas se cruzam. Isso é importante porque define os limites de integração para calcular a área. Vamos igualar as funções duas a duas para achar esses pontos.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre as parábolas
e
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, as parábolas se encontram no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a reta
intercepta cada uma das parábolas.
Primeiro, com
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Agora, com
:
Os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora que temos todos os pontos de interseção, vamos visualizar a área que queremos calcular. Entre
e
, a reta
está acima das parábolas. Entre
e
, a parábola
fica acima da reta.
Passo 6
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
- De
a : a reta está acima das parábolas. - De
a : a parábola está acima da reta .
Passo 7
Para a primeira parte, a área
é a diferença entre a reta
e a parábola
:
Vamos integrar:
Passo 8
Para a segunda parte, a área
é a diferença entre a parábola
e a reta
:
Vamos integrar:
Como área não pode ser negativa, pegamos o valor positivo:
Passo 9
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total
:
Resposta
A área da região compreendida entre as curvas é
unidades de área.