Problema 3.19: 3.19 (a) Demonstre que
onde
é um campo escalar e A é um campo vetorial.
(b) Calcule
quando
e
.
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede dois objetivos: (a) provar, de forma geral, que para um campo escalar
e um campo vetorial
vale
e (b) aplicar essa fórmula quando
e
e
Para isso vamos usar a definição de divergência e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Pela definição,
Passo 3
Em cada termo usamos a regra do produto:
para
. Somando os três termos obtemos
ou seja
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao caso dado. Primeiro calculamos
Passo 5
Em seguida obtemos
e
Passo 6
Finalmente,
Resposta
(a)
(b)