Problema 3.19: 3.19 (a) Demonstre que
nabla cdot(V A)=V nabla cdot A+A cdot nabla V
onde V é um campo escalar e A é um campo vetorial.
(b) Calcule nabla cdot(V A) quando A=2 x ay+3 y ay-4 z az e V=x y z.

Passo 1

O enunciado pede dois objetivos: (a) provar, de forma geral, que para um campo escalar V e um campo vetorial A vale
nablacdotl(V, Ar) =V,nablacdot A+ Acdotnabla V,
e (b) aplicar essa fórmula quando
A=2x, ax+3y, ay-4z, az
e
V=xyz
Para isso vamos usar a definição de divergência e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Pela definição,
nablacdotl(V, Ar) =partialpartial xl(V,Axr) +partialpartial yl(V,Ayr) +partialpartial zl(V,Azr)

Passo 3

Em cada termo usamos a regra do produto:
partialpartial il(V,Air) =V,partial Aipartial i + Ai,partial Vpartial i,
para i=x,y,z. Somando os três termos obtemos
nablacdot(V A) =Vl(partialxAx+partialyAy+partialzAzr) +l(AxpartialxV+AypartialyV+AzpartialzVr),
ou seja
nablacdot(V A) =V,nablacdot A+ Acdotnabla V

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao caso dado. Primeiro calculamos
nablacdot A =partialpartial x(2x) +partialpartial y(3y) +partialpartial z(-4z) =2+3-4=1

Passo 5

Em seguida obtemos
nabla V =nabla(xyz) =(yz), ax+(xz), ay+(xy), az
e
Acdotnabla V =(2x)(yz)+(3y)(xz)+(-4z)(xy) =2xyz+3xyz-4xyz=xyz

Passo 6

Finalmente,
nablacdotl(V, Ar) =V,nablacdot A+ Acdotnabla V =(xyz)cdot1 + xyz =2,xyz

Resposta

(a) nablacdotl(V, Ar) =V,nablacdot A+ Acdotnabla V
(b) nablacdotl(V, Ar)=2,x,y,z

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