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O raio de um espelho côncavo de pequena abertura é igual a 50 cm . Um feixe de luz incide paralelamente ao eixo do espelho. Determine a distância entre o ponto luminoso para onde os raios convergem e o vértice do espelho.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dado: o raio de curvatura do espelho côncavo é R=50\\ \text{cm}.
  • Dado: um feixe de luz incide paralelamente ao eixo do espelho (ou seja, raios quase paralelos ao eixo principal).
  • Pedido: determinar a distância entre o ponto luminoso para onde os raios convergem (o foco) e o vértice do espelho. Em palavras: encontrar a distância do foco ao vértice, ou seja, o comprimento f (o foco medido a partir do vértice).

Passo 2

Entendendo os conceitos essenciais (isso é importante para resolver na prova sem dó nem culpa).
  • Vértice do espelho: é o ponto da superfície do espelho que fica sobre o eixo principal (pense no “meio” da frente do espelho).
  • Centro de curvatura: é o centro da esfera da qual o espelho faz parte; a distância do vértice até esse centro é o raio de curvatura R.
  • Foco (ponto focal): é o ponto onde raios paralelos ao eixo principal convergem depois de refletirem no espelho. A distância do vértice até esse ponto chama-se distância focal f.
  • Propriedade física importante (válida para espelhos esféricos de pequena abertura — aproximação paraxial): raios paralelos ao eixo convergem em um ponto a certa distância f do vértice; existe uma relação entre f e R que usaremos.

Passo 3

Apresentando a fórmula que relaciona objeto, imagem e foco (a fórmula que costuma aparecer nas questões).
  • A fórmula geral dos espelhos esféricos (fórmula do espelho) é
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},
onde:
  • f é a distância focal (do vértice ao foco),
  • p é a distância do objeto ao vértice,
  • q é a distância da imagem ao vértice.
Explicação curta do uso: se o objeto está muito longe (objecto no infinito), então p\to\infty e \dfrac{1}{p}\to 0, logo a imagem formada por raios paralelos fica em q=f. Isso confirma que raios paralelos formam a imagem no foco.

Passo 4

Como obter a relação entre f e R (a parte-chave que responde à pergunta).
  • Considere um objeto colocado exatamente no centro de curvatura do espelho (distância p=R do vértice). Por simetria: qualquer raio que saia do centro de curvatura atinge a superfície com a normal passando por esse mesmo centro, então o raio refletido volta exatamente pelo mesmo caminho. Portanto a imagem do objeto colocado em C (centro) coincide com o próprio centro: q=R.
  • Agora use a fórmula do espelho com p=R e q=R:
\frac{1}{f}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}=\frac{2}{R}.
  • Assim
f=\frac{R}{2}.
Observação didática: essa identidade f=\dfrac{R}{2} é a relação clássica entre raio de curvatura e distância focal para espelhos esféricos na aproximação de pequenas aberturas (paraxial). É uma coisa que vale decorar, mas aqui vimos um raciocínio simples que justifica.

Passo 5

Aplicando os números do enunciado.
  • Foi dado R=50\\ \text{cm}.
  • Usando \displaystyle f=\frac{R}{2} obtemos
f=\frac{50\\ \text{cm}}{2}=25\\ \text{cm}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova.
  • Resultado: os raios paralelos ao eixo de um espelho côncavo de raio 50\\ \text{cm} convergem a 25\\ \text{cm} do vértice.
  • Dica: na prova, ao ver “raios paralelos” já pense automaticamente “imagem no foco” e lembre que para espelho esférico f=R/2. Isso economiza tempo e evita cálculo desnecessário.

Resposta

25\\ \text{cm}

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