1.37
O raio de um espelho côncavo de pequena abertura é igual a 50 cm . Um feixe de luz incide paralelamente ao eixo do espelho. Determine a distância entre o ponto luminoso para onde os raios convergem e o vértice do espelho.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Dado: o raio de curvatura do espelho côncavo é
. - Dado: um feixe de luz incide paralelamente ao eixo do espelho (ou seja, raios quase paralelos ao eixo principal).
- Pedido: determinar a distância entre o ponto luminoso para onde os raios convergem (o foco) e o vértice do espelho. Em palavras: encontrar a distância do foco ao vértice, ou seja, o comprimento
(o foco medido a partir do vértice).
Passo 2
Entendendo os conceitos essenciais (isso é importante para resolver na prova sem dó nem culpa).
- Vértice do espelho: é o ponto da superfície do espelho que fica sobre o eixo principal (pense no “meio” da frente do espelho).
- Centro de curvatura: é o centro da esfera da qual o espelho faz parte; a distância do vértice até esse centro é o raio de curvatura
. - Foco (ponto focal): é o ponto onde raios paralelos ao eixo principal convergem depois de refletirem no espelho. A distância do vértice até esse ponto chama-se distância focal
. - Propriedade física importante (válida para espelhos esféricos de pequena abertura — aproximação paraxial): raios paralelos ao eixo convergem em um ponto a certa distância
do vértice; existe uma relação entre e que usaremos.
Passo 3
Apresentando a fórmula que relaciona objeto, imagem e foco (a fórmula que costuma aparecer nas questões).
- A fórmula geral dos espelhos esféricos (fórmula do espelho) é
onde:
-
é a distância focal (do vértice ao foco), -
é a distância do objeto ao vértice, -
é a distância da imagem ao vértice.
Explicação curta do uso: se o objeto está muito longe (objecto no infinito), então
e
, logo a imagem formada por raios paralelos fica em
. Isso confirma que raios paralelos formam a imagem no foco.
Passo 4
Como obter a relação entre
e
(a parte-chave que responde à pergunta).
- Considere um objeto colocado exatamente no centro de curvatura do espelho (distância
do vértice). Por simetria: qualquer raio que saia do centro de curvatura atinge a superfície com a normal passando por esse mesmo centro, então o raio refletido volta exatamente pelo mesmo caminho. Portanto a imagem do objeto colocado em (centro) coincide com o próprio centro: . - Agora use a fórmula do espelho com
e :
- Assim
Observação didática: essa identidade
é a relação clássica entre raio de curvatura e distância focal para espelhos esféricos na aproximação de pequenas aberturas (paraxial). É uma coisa que vale decorar, mas aqui vimos um raciocínio simples que justifica.
Passo 5
Aplicando os números do enunciado.
- Foi dado
. - Usando
obtemos
Passo 6
Interpretação final e dica prática para a prova.
- Resultado: os raios paralelos ao eixo de um espelho côncavo de raio
convergem a do vértice. - Dica: na prova, ao ver “raios paralelos” já pense automaticamente “imagem no foco” e lembre que para espelho esférico
. Isso economiza tempo e evita cálculo desnecessário.