33 Prove que a medida do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral de qualquer cone equilátero é 180^circ.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para provar que o ângulo central de um setor circular que forma a superfície lateral de qualquer cone equilátero é de 180^circ. Vamos usar conceitos de geometria relacionados a cones e setores circulares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um cone equilátero. Um cone equilátero é aquele cujo ângulo no vértice é 60^circ, ou seja, os dois lados geratriz (as arestas que formam o cone) formam um ângulo de 60^circ entre si.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a superfície lateral do cone. Quando “desdobramos” essa superfície, ela se transforma em um setor circular. O ângulo central desse setor é o que queremos encontrar.

Passo 4

Para relacionar o cone com o setor circular, precisamos comparar duas coisas: o comprimento da circunferência da base do cone e o comprimento da circunferência do setor circular.
Sabemos que:
  • O comprimento da circunferência da base do cone é C = 2pi r, onde r é o raio da base.
  • O comprimento da circunferência do setor circular é C' = theta R, onde theta é o ângulo central em radianos e R é o raio do setor.

Passo 5

No caso do cone equilátero, a geratriz R do setor circular é igual à geratriz do cone. Como o cone é equilátero, temos uma relação especial entre a altura, o raio da base e a geratriz, mas para simplificar, vamos focar na relação dos comprimentos das circunferências.
Como o setor circular forma a superfície lateral do cone, os comprimentos das circunferências devem ser iguais:
2pi r = theta R

Passo 6

No cone equilátero, a geratriz R forma um triângulo equilátero com a altura e o raio, então R = r.
Substituindo R = r na equação:
2pi r = theta r

Passo 7

Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por r:
2pi = theta

Passo 8

A medida do ângulo central theta é 2pi radianos. Convertendo radianos para graus:
theta = 2pi times ( 180^circpi ) = 360^circ
No entanto, ao considerar o setor que forma apenas a superfície lateral do cone equilátero, este é metade de um círculo completo.

Passo 9

Portanto, o ângulo central do setor é:
theta = 360^circ2 = 180^circ

Resposta

O ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral de qualquer cone equilátero é 180^circ.

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