33 Prove que a medida do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral de qualquer cone equilátero é
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para provar que o ângulo central de um setor circular que forma a superfície lateral de qualquer cone equilátero é de
. Vamos usar conceitos de geometria relacionados a cones e setores circulares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um cone equilátero. Um cone equilátero é aquele cujo ângulo no vértice é
, ou seja, os dois lados geratriz (as arestas que formam o cone) formam um ângulo de
entre si.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a superfície lateral do cone. Quando “desdobramos” essa superfície, ela se transforma em um setor circular. O ângulo central desse setor é o que queremos encontrar.
Passo 4
Para relacionar o cone com o setor circular, precisamos comparar duas coisas: o comprimento da circunferência da base do cone e o comprimento da circunferência do setor circular.
Sabemos que:
- O comprimento da circunferência da base do cone é
, onde é o raio da base. - O comprimento da circunferência do setor circular é
, onde é o ângulo central em radianos e é o raio do setor.
Passo 5
No caso do cone equilátero, a geratriz
do setor circular é igual à geratriz do cone. Como o cone é equilátero, temos uma relação especial entre a altura, o raio da base e a geratriz, mas para simplificar, vamos focar na relação dos comprimentos das circunferências.
Como o setor circular forma a superfície lateral do cone, os comprimentos das circunferências devem ser iguais:
Passo 6
No cone equilátero, a geratriz
forma um triângulo equilátero com a altura e o raio, então
.
Substituindo
na equação:
Passo 7
Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
A medida do ângulo central
é
radianos. Convertendo radianos para graus:
No entanto, ao considerar o setor que forma apenas a superfície lateral do cone equilátero, este é metade de um círculo completo.
Passo 9
Portanto, o ângulo central do setor é:
Resposta
O ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral de qualquer cone equilátero é
.