Exercício 1. (15 pontos) Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Queremos calcular a integral indefinida integral sin^2 x cos^2 x ,dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas de potências, e vamos precisar usar identidades de redução de potência.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a identidade sin x,cos x = tfrac12sin2x. Assim,
sin^2 x,cos^2 x = l(tfrac12sin2xr)^2 = tfrac14sin^2 2x

Passo 3

Em seguida, usamos a redução de potência para sin^2 2x:
sin^2 2x = tfrac1 - cos4x2

Passo 4

Logo, o integrando fica
sin^2 x,cos^2 x = tfrac14sin^2 2x = tfrac14cdottfrac1 - cos4x2 = tfrac18l(1 - cos4xr)

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
integral tfrac18,dx = tfracx8,
integral -tfrac18cos4x,dx = -tfrac18cdot tfracsin4x4 = -tfracsin4x32

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração:

Resposta

x8 - sin4x32 + C

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