Questão 4. Seja A(x)=x^(-23) cdot(1+x^2)^1 / 2=raiz1+x^2raiz[3]x^2, onde x in I=(0,+infty). Encontre x para o qual A atinja um valor mínimo relativo. Esse ponto x é um extremo absoluto (ponto de mínimo global)? Justifique a sua resposta. A função A(x) tem valor máximo?
Sugestões: (i) Calcule A^prime(x) e mostre que A^prime(x)<0, se 0<x<2^12, e A^prime(x)>0, se x>2^1 / 2.
(ii) Calcule o limite de A(x) quando x tende a + infinito.

Passo 1

O enunciado dá a função A(x)=raiz1+x^2raiz[3]x^2 definida em (0,+infty). O objetivo é achar o ponto onde A atinge mínimo relativo, verificar se é mínimo global e se existe máximo. Vamos usar derivada e estudo de limites.

Passo 2

Para encontrar A'(x), é mais fácil usar diferenciação logarítmica. Escrevemos
ln A(x)=tfrac12ln(1+x^2)-tfrac23ln x
Derivando ambos os lados em relação a x:
A'(x)A(x)=x1+x^2-23x

Passo 3

Unimos as frações para achar o sinal de A'(x):
A'(x)A(x)=3x^2-2(1+x^2)3x(1+x^2)=x^2-23x(1+x^2)
Como 3x(1+x^2)>0 em (0,infty), o sinal de A'(x) é o sinal de x^2-2. Logo:
  • Se 0<x<raiz2, então x^2-2<0 e A'(x)<0 (função decrescente).
  • Se x>raiz2, então x^2-2>0 e A'(x)>0 (função crescente).
    Portanto há um ponto crítico em x=raiz2 que é ponto de mínimo relativo.

Passo 4

Para ver se esse mínimo é global, examinamos os limites em 0 e em + infinito. Temos:
limxto0^+A(x)=limxto0^+raiz1+x^2x^2/3=+infty,
limxto+inftyA(x)=limxto+inftyxraiz1+1/x^2x^2/3=limxto+inftyx^1/3=+infty
Como A(x)to+infty nas extremidades do domínio e A(raiz2) é finito, esse mínimo é também mínimo absoluto.

Passo 5

Uma vez que A(x) tende a +\infty em ambas as pontas e só possui um ponto crítico de mínimo, não existe valor máximo para A(x) no domínio.

Resposta

O ponto de mínimo é x=raiz2, que é mínimo absoluto, e a função não tem valor máximo.

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