Questão 4. Seja
, onde
. Encontre x para o qual A atinja um valor mínimo relativo. Esse ponto
é um extremo absoluto (ponto de mínimo global)? Justifique a sua resposta. A função
tem valor máximo?
Sugestões: (i) Calcule
e mostre que
, se
, e
, se
.
(ii) Calcule o limite de
quando x tende a + infinito.
(ii) Calcule o limite de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
. O objetivo é achar o ponto onde
atinge mínimo relativo, verificar se é mínimo global e se existe máximo. Vamos usar derivada e estudo de limites.
Passo 2
Para encontrar
, é mais fácil usar diferenciação logarítmica. Escrevemos
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Unimos as frações para achar o sinal de
:
Como
em
, o sinal de
é o sinal de
. Logo:
- Se
, então e (função decrescente). - Se
, então e (função crescente).
Portanto há um ponto crítico emque é ponto de mínimo relativo.
Passo 4
Para ver se esse mínimo é global, examinamos os limites em 0 e em + infinito. Temos:
Como
nas extremidades do domínio e
é finito, esse mínimo é também mínimo absoluto.
Passo 5
Uma vez que
tende a +\infty em ambas as pontas e só possui um ponto crítico de mínimo, não existe valor máximo para
no domínio.
Resposta
O ponto de mínimo é
, que é mínimo absoluto, e a função não tem valor máximo.