34.27 • Um inseto com 3,75 mm de altura é colocado 22,5 \mathrm{~cm} à esquerda de uma lente delgada plano-convexa. A superfície esquerda dessa lente é plana, a superfície direita possui um raio de curvatura de 13,0 \mathrm{~cm} de módulo, e o índice de refração do material da lente é 1,70 . (a) Calcule a posição e o tamanho da imagem que essa lente forma do inseto. Ela é real ou virtual? Direita ou invertida? (b) Repita o item (a) invertendo a lente.

Passo 1

O enunciado dá um inseto de altura \,h_o=3{,}75\text{ mm} colocado a uma distância \,s=22{,}5\text{ cm} à esquerda de uma lente delgada plano-convexa de índice \,n=1{,}70. A superfície plana não contribui para o foco, e a superfície convexa tem raio de curvatura \,R=13{,}0\text{ cm}. Pede-se (a) a posição \,s' e o tamanho \,h_i da imagem, e se ela é real ou virtual e direita ou invertida; (b) repetir com a lente invertida.

Passo 2

Para uma lente delgada plano-convexa em ar usamos a fórmula do fabricante de lentes (lensmaker) que, no caso de uma superfície plana e outra curva, reduz-se a
f=\frac{R}{n-1}
onde \,f é a distância focal, \,R o raio da superfície curva e \,n o índice da lente. Depois usamos a equação dos focos
\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}
para achar \,s', e a ampliação transversal
m=-\frac{s'}{s}
com \,h_i=m\,h_o para a altura da imagem.

Passo 3

Calculando a distância focal em centímetros:
f=\frac{13{,}0}{1{,}70-1}= \frac{13{,}0}{0{,}70}=18{,}57\text{ cm}.

Passo 4

Aplicando a equação dos focos com \,s=22{,}5\text{ cm} e \,f=18{,}57\text{ cm}:
s'=\frac{f\,s}{\,s - f\,} =\frac{18{,}57\times22{,}5}{22{,}5-18{,}57} =\frac{418{,}3}{3{,}93} \approx106{,}4\text{ cm}.

Passo 5

A ampliação é
m=-\frac{s'}{s}=-\frac{106{,}4}{22{,}5}\approx -4{,}73,
portanto a altura da imagem (convertendo \,h_o=3{,}75\text{ mm} em centímetros, \,0{,}375\text{ cm}) fica
h_i=m\,h_o\approx -4{,}73\times0{,}375\text{ cm}=-1{,}77\text{ cm}
ou seja -17{,}7\text{ mm}. O sinal negativo indica imagem invertida.
Como \,s'>0, a imagem forma-se à direita da lente e é real. Como \,h_i<0, ela está invertida.

Passo 6

Em lente delgada a orientação (qual face fica voltada para o objeto) não altera \,f nem o resultado da equação dos focos. Logo, invertendo a lente (item b) obtemos os mesmos valores de \,s' e \,h_i, também real e invertida.

Resposta

(a) s'\approx106{,}4\text{ cm} à direita da lente, h_i\approx -17{,}7\text{ mm}; imagem real e invertida.
(b) Mesmos valores: s'\approx106{,}4\text{ cm}, h_i\approx -17{,}7\text{ mm}; real e invertida.

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