Explique o teorema da eqüipartição da energia.
11) Quais são os quatros principais potenciais termodinâmicos? (não escreve apenas os nomes)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: explicar o teorema da equipartição da energia (conteúdo de termodinâmica estatística) e listar/descrever os quatro principais potenciais termodinâmicos (conteúdo de termodinâmica clássica).

Passo 2

O teorema da equipartição parte da ideia de que, para um sistema em equilíbrio térmico a temperatura T, cuja energia (Hamiltoniano) se escreva como soma de termos quadráticos independentes do tipo
H = \sum_{i} a_i q_i^2 + \sum_{j} b_j p_j^2 + \dots
cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média
\bigl\langle \varepsilon_i\bigr\rangle = \frac{1}{2}k_{B}T.
A derivação usa a função de partição
Z = \int e^{-\beta H}\,d\Gamma,\quad \beta=\frac{1}{k_{B}T},
e o fato de que
\bigl\langle x^2\bigr\rangle = \frac{1}{Z}\int x^2 e^{-\beta a x^2}dx = \frac{1}{2\beta a}.
Multiplicando por a obtém-se \langle a x^2\rangle=1/(2\beta)=k_{B}T/2.

Passo 3

Daí decorre que a energia interna total de um gás ideal monatomico, com três graus de liberdade de translação por partícula, vale
U = \sum_{\text{DOF}} \frac12 k_{B}T = \frac32 Nk_{B}T,
e, em geral, cada termo quadrático no Hamiltoniano acrescenta \tfrac12 k_{B}T à energia média do sistema.

Passo 4

Os quatro principais potenciais termodinâmicos são obtidos por transformações de Legendre a partir da energia interna U(S,V,N):
1. Energia interna
U=U(S,V,N),
variáveis naturais (S,V,N) e diferencial
dU = T\,dS - P\,dV + \mu\,dN.
2. Energia de Helmholtz
F(T,V,N) = U - TS,
variáveis naturais (T,V,N) e
dF = -S\,dT - P\,dV + \mu\,dN.
3. Enthalpia
H(S,P,N) = U + PV,
variáveis naturais (S,P,N) e
dH = T\,dS + V\,dP + \mu\,dN.
4. Energia livre de Gibbs
G(T,P,N) = U - TS + PV,
variáveis naturais (T,P,N) e
dG = -S\,dT + V\,dP + \mu\,dN.

Resposta

O teorema da equipartição afirma que, em equilíbrio térmico a temperatura T, cada termo quadrático independente no Hamiltoniano contribui com energia média \tfrac12 k_{B}T, resultando, por exemplo, em U=\tfrac32Nk_{B}T para um gás ideal monatomico.
Os quatro potenciais termodinâmicos e seus naturais são:
\bullet U(S,V,N) com dU=T\,dS-P\,dV+\mu\,dN.
\bullet F(T,V,N)=U-TS com dF=-S\,dT-P\,dV+\mu\,dN.
\bullet H(S,P,N)=U+PV com dH=T\,dS+V\,dP+\mu\,dN.
\bullet G(T,P,N)=U-TS+PV com dG=-S\,dT+V\,dP+\mu\,dN.

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