(a) Escreva a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido cujo deslocamento é dado por x=A e^{-\gamma t} \sin (\omega t). (b) Determine os valores limite quando \gamma \ll \omega_{0} .
$

  1. { }^{1} \sin \alpha é a função seno de argumento \alpha.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento de um oscilador amortecido
x(t)=A e^{-\gamma t}\sin(\omega t)
e pede (a) as expressões de velocidade v(t)=\dot x e aceleração a(t)=\ddot x, e (b) o limite dessas expressões quando \gamma\ll\omega_0. Vamos usar derivação por regra do produto e a aproximação \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\approx\omega_0 para amortecimento fraco.

Passo 2

Calculamos a velocidade aplicando a regra do produto a x=A e^{-\gamma t}\sin(\omega t):
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(A e^{-\gamma t}\sin(\omega t)\bigr) =A\Bigl(\frac{d}{dt}e^{-\gamma t}\Bigr)\sin(\omega t) +A e^{-\gamma t}\frac{d}{dt}\sin(\omega t).
Como \frac{d}{dt}e^{-\gamma t}=-\gamma e^{-\gamma t} e \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t), segue
v(t)=A\bigl(-\gamma e^{-\gamma t}\sin(\omega t)+\omega e^{-\gamma t}\cos(\omega t)\bigr) =A e^{-\gamma t}\bigl(\omega\cos(\omega t)-\gamma\sin(\omega t)\bigr).

Passo 3

Para a aceleração aplicamos a derivada novamente a v(t)=A e^{-\gamma t}(\omega\cos(\omega t)-\gamma\sin(\omega t)). Usando regra do produto e derivadas de \cos e \sin, obtemos após agrupar termos em \sin(\omega t) e \cos(\omega t):
a(t) =A e^{-\gamma t}\Bigl((\gamma^2-\omega^2)\sin(\omega t)-2\gamma\omega\cos(\omega t)\Bigr).

Passo 4

No caso de amortecimento fraco \gamma\ll\omega_0 temos \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\approx\omega_0 e desprezamos termos em \gamma^2. Assim
v(t)\approx A e^{-\gamma t}\bigl(\omega_0\cos(\omega_0 t)-\gamma\sin(\omega_0 t)\bigr),
a(t)\approx A e^{-\gamma t}\Bigl((0-\omega_0^2)\sin(\omega_0 t)-2\gamma\omega_0\cos(\omega_0 t)\Bigr) =-A e^{-\gamma t}\bigl(\omega_0^2\sin(\omega_0 t)+2\gamma\omega_0\cos(\omega_0 t)\bigr).

Resposta

(a)
v(t)=A e^{-\gamma t}\bigl(\omega\cos(\omega t)-\gamma\sin(\omega t)\bigr),
a(t)=A e^{-\gamma t}\Bigl((\gamma^2-\omega^2)\sin(\omega t)-2\gamma\omega\cos(\omega t)\Bigr).
(b) Para \gamma\ll\omega_0 e \omega\approx\omega_0:
v(t)\approx A e^{-\gamma t}\bigl(\omega_0\cos(\omega_0 t)-\gamma\sin(\omega_0 t)\bigr),
a(t)\approx -A e^{-\gamma t}\bigl(\omega_0^2\sin(\omega_0 t)+2\gamma\omega_0\cos(\omega_0 t)\bigr).

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