4 (6 pontos) Um laser com comprimento de onda 641 nm ilumina duas fendas idênticas, produzindo um padrão de difração e interferência em uma tela a uma distância de 173 cm das fendas. As franjas claras estão separadas de 1,52 \mathrm{~cm}, e a terceira franja de interferência nāo aparece no padrão.
(a) Qual a largura da fendas? (b) Qual a distância entre as fendas?
(a) (A) 13,5 \mu \mathrm{~m}, (B) 12,7 \mu \mathrm{~m}, (C) 17,0 \mu \mathrm{~m}, (D) 18,2 \mu \mathrm{~m}, (E) 24,3 \mu \mathrm{~m}, (F) 9,85 \mu \mathrm{~m}, (G) 10,7 \mu \mathrm{~m}, (H) 8,12 \mu \mathrm{~m}, (I) 31,6 \mu \mathrm{~m}, (J) 29,1 \mu \mathrm{~m}, (K) 33,4 \mu \mathrm{~m}, (M) 12,0 \mu \mathrm{~m}, (N) 21,8 \mu \mathrm{~m}, (O) 15,5 \mu \mathrm{~m}, § 20,1 \mu \mathrm{~m}, (D) 14,5 \mu \mathrm{~m},
(b) (A) 45,0 \mu \mathrm{~m}, (B) 93,3 \mu \mathrm{~m}, (C) 38,1 \mu \mathrm{~m}, (D) 35,3 \mu \mathrm{~m}, (E) 32,1 \mu \mathrm{~m}, (F) 73,0 \mu \mathrm{~m}, (G) 24,4 \mu \mathrm{~m}, (H) 50,7 \mu \mathrm{~m}, (I) 42,5 \mu \mathrm{~m},(\mathrm{~J}) 86,1 \mu \mathrm{~m},(\mathrm{~K}) 65,5 \mu \mathrm{~m},(\mathrm{~L}) 54,6 \mu \mathrm{~m},(\mathrm{M}) 40,2 \mu \mathrm{~m},(\mathrm{~N}) 29,6 \mu \mathrm{~m},(\mathrm{~O}) 60,3 \mu \mathrm{~m},(\mathrm{~P}) 111 \mu \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de dupla fenda com difração de fenda única atuando como envelope. O laser tem comprimento de onda \lambda = 641\\ \text{nm}, a tela está a L = 1,73\\ \text{m} das fendas, e as franjas claras de interferência estão espaçadas de y = 1,52\\ \text{cm}. Além disso, a terceira franja de interferência desaparece porque coincide com o primeiro mínimo de difração da fenda de largura a. Vamos usar:
1. Para interferência dupla fenda, o espaçamento entre franjas claras é
y = \frac{L\,\lambda}{d},
onde d é a separação entre fendas.
2. Para o desaparecimento da m\textsuperscript{°} franja quando ela coincide com o m'\textsuperscript{°} mínimo de difração de fenda única, vale
d\sin\theta_m = m\,\lambda \quad\text{e}\quad a\sin\theta_m = m'\,\lambda.

Passo 2

Calculemos d a partir de
y = \frac{L\,\lambda}{d} \;\Longrightarrow\; d = \frac{L\,\lambda}{y}.
Substituindo L = 1{,}73\\ \text{m}, \lambda = 641\times10^{-9}\\ \text{m} e y = 1{,}52\times10^{-2}\\ \text{m}, temos
d = \frac{1{,}73 \times 641\times10^{-9}}{1{,}52\times10^{-2}} \approx 7{,}30\times10^{-5}\\ \text{m} = 73{,}0\\ \mu\text{m}.

Passo 3

Para que a terceira franja de interferência ( m=3) coincida com o primeiro mínimo de difração ( m'=1), devemos ter
d\sin\theta_3 = 3\,\lambda \quad\text{e}\quad a\sin\theta_3 = 1\,\lambda.
Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos
\frac{a}{d} = \frac{\lambda}{3\,\lambda} = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{d}{3}.

Passo 4

Substituindo d = 73{,}0\\ \mu\text{m} em a = d/3, resulta
a = \frac{73{,}0\\ \mu\text{m}}{3} \approx 24{,}3\\ \mu\text{m}.

Resposta

(a) 24,3\mum — alternativa (E)
(b) 73,0\mum — alternativa (F)

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