3.34 Em uma competiçāo de natação, a possibilidade de A vencer é de 2 em 3 e a de B vencer é de 1 em 4 . Encontre a probabilidade p e a possibilidade de que A ou B vença a competição.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede duas coisas. As informações são:
  • A possibilidade de A vencer é de 2 em 3.
  • A possibilidade de B vencer é de 1 em 4.
As perguntas do exercício:
  • Encontrar a probabilidade p de que A ou B vença a competição.
  • Encontrar a possibilidade (odds) de que A ou B vença a competição.

Passo 2

Interpretação das expressões dadas: aqui vamos entender "possibilidade de A vencer é de 2 em 3" como a probabilidade de A vencer igual a \dfrac{2}{3}, e "possibilidade de B vencer é de 1 em 4" como a probabilidade de B vencer igual a \dfrac{1}{4}. Ou seja:
P(A)=\dfrac{2}{3},\qquad P(B)=\dfrac{1}{4}.
(Adotamos essa interpretação porque geralmente, em linguagem comum, “x em y” indica a fração x/y.)

Passo 3

Explicar a regra de adição para eventos mutuamente exclusivos (aula rápida e sem pânico): se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo — isto é, se são mutuamente exclusivos — a probabilidade de que “A ou B” ocorra é a soma das probabilidades:
P(A\\ \text{ou}\\ B)=P(A)+P(B).
No contexto de uma competição em que “vencer” significa ter um único vencedor, A e B não podem vencer simultaneamente, portanto são mutuamente exclusivos e podemos usar a soma direta.

Passo 4

Aplicar a regra para calcular p. Somamos as frações \dfrac{2}{3} e \dfrac{1}{4}. Primeiro encontro o mínimo múltiplo comum dos denominadores 3 e 4, que é 12. Converter cada fração para denominador 12:
\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot4}{3\cdot4}=\dfrac{8}{12},\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{1\cdot3}{4\cdot3}=\dfrac{3}{12}.
Somando:
p=P(A\\ \text{ou}\\ B)=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}.

Passo 5

Verificação rápida: \dfrac{11}{12}<1, então faz sentido como probabilidade (não ultrapassa 1). Como checar mentalmente: restaria \dfrac{1}{12} de probabilidade para “outros resultados” possíveis (se houver outros competidores).

Passo 6

Agora transformar essa probabilidade em “possibilidade” no sentido de odds (forma clássica de se expressar chances): a definição de odds a favor de um evento é a razão entre a probabilidade do evento ocorrer e a probabilidade do evento não ocorrer. Em fórmula:
\text{odds a favor}=\dfrac{p}{1-p}.
Aqui p=\dfrac{11}{12}, então 1-p=\dfrac{1}{12}. Calculando:
\text{odds a favor}=\dfrac{\tfrac{11}{12}}{\tfrac{1}{12}}=\dfrac{11}{12}\cdot\dfrac{12}{1}=11.
Isso significa odds iguais a 11 para 1, que se escreve também como 11:1 ou em palavras “11 em 1”.

Passo 7

Interpretação final e comentário amigo: a probabilidade de que A ou B ganhe é muito alta ( \dfrac{11}{12}), e em termos de odds isso equivale a dizer que há 11 chances para esse evento ocorrer contra 1 chance de não ocorrer. Respira — tá bonito!

Resposta

p=\dfrac{11}{12}
\text{Possibilidade (odds a favor)}=11:1

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