34 Em um cone de revolução de altura 5 cm , uma secção meridiana é um triângulo com um ângulo interno de 120^circ. Calcule a medida de uma geratriz desse cone.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cone de revolução com altura de 5 cm. A secção meridiana desse cone forma um triângulo que tem um ângulo interno de 120^circ. Nosso objetivo aqui é descobrir a medida da geratriz desse cone, que é a distância do vértice até qualquer ponto da borda da base do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma geratriz. A geratriz ( l) é o lado inclinável do cone, que liga o vértice à base. Em um cone, a geratriz está relacionada com a altura ( h) e o raio ( r) da base através da fórmula:
l = raizh^2 + r^2
Mas, como a altura ( h) e o ângulo dado estão relacionados ao triângulo da secção meridiana, precisamos encontrar uma forma de conectar essas informações para descobrir l.

Passo 3

Vamos analisar o triângulo da secção meridiana. Esse triângulo tem um ângulo no vértice de 120^circ, que é o ângulo entre as duas geratrizes. Se dividirmos esse triângulo ao meio, teremos dois triângulos retângulos com um ângulo de 60^circ.
Nesse triângulo retângulo, podemos usar a função seno para relacionar o raio ( r) da base com a geratriz ( l):
sin(60^circ) = rl
Sabemos que sin(60^circ) = raiz32, então:
raiz32 = rl implies r = raiz32 times l

Passo 4

Agora que temos r em termos de l, podemos substituir esse valor na fórmula da geratriz que mencionamos no Passo 2:
l = raizh^2 + r^2 = raiz5^2 + (raiz32 l)^2 = raiz25 + 34 l^2

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
l^2 = 25 + 34 l^2
Agora, vamos isolar l^2:
l^2 - 34 l^2 = 25 implies 14 l^2 = 25 implies l^2 = 100

Passo 6

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar l:
l = raiz100 = 10 cm

Resposta

A medida da geratriz desse cone é de 10 cm.

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