34 Em um cone de revolução de altura 5 cm , uma secção meridiana é um triângulo com um ângulo interno de . Calcule a medida de uma geratriz desse cone.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cone de revolução com altura de 5 cm. A secção meridiana desse cone forma um triângulo que tem um ângulo interno de . Nosso objetivo aqui é descobrir a medida da geratriz desse cone, que é a distância do vértice até qualquer ponto da borda da base do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma geratriz. A geratriz () é o lado inclinável do cone, que liga o vértice à base. Em um cone, a geratriz está relacionada com a altura () e o raio () da base através da fórmula:
Mas, como a altura () e o ângulo dado estão relacionados ao triângulo da secção meridiana, precisamos encontrar uma forma de conectar essas informações para descobrir .
Passo 3
Vamos analisar o triângulo da secção meridiana. Esse triângulo tem um ângulo no vértice de , que é o ângulo entre as duas geratrizes. Se dividirmos esse triângulo ao meio, teremos dois triângulos retângulos com um ângulo de .
Nesse triângulo retângulo, podemos usar a função seno para relacionar o raio () da base com a geratriz ():
Sabemos que , então:
Passo 4
Agora que temos em termos de , podemos substituir esse valor na fórmula da geratriz que mencionamos no Passo 2:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: