Exercício 1. (15 pontos) Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral indefinida integral x^3ln x,dx. O conteúdo principal é integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Para usar integração por partes, escolhemos u = ln x (cuja derivada simplifica o logaritmo) e dv = x^3,dx. Assim, calculamos
du = 1x,dx, v = integral x^3,dx = x^44

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes com essas escolhas, obtemos
integral x^3ln x,dx = u v - integral v,du = ln x cdot x^44 - integral x^44 cdot 1x,dx = x^44ln x - 14integral x^3,dx
Integrando integral x^3,dx = x^44 e simplificando, chegamos a
x^44ln x - 14 cdot x^44 + C = x^44ln x - x^416 + C

Resposta

x^44ln x - x^416 + C

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