Exercício 1. (15 pontos) Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma primitiva (integral indefinida) de sec^3 x. O conteúdo principal aqui é usar integração por partes e a identidade trigonométrica tan^2 x = sec^2 x - 1.

Passo 2

Primeiro reescrevemos sec^3 x como sec xcdotsec^2 x e aplicamos integração por partes escolhendo
u = sec x, dv = sec^2 x,dx
Assim,
du = sec xtan x,dx, v = integralsec^2 x,dx = tan x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos
integral sec^3 x,dx = sec xtan x - integral tan x,(sec xtan x),dx = sec xtan x - integral sec xtan^2 x,dx
Usando tan^2 x = sec^2 x - 1 temos
integral sec xtan^2 x,dx = integral (sec^3 x - sec x),dx = integral sec^3 x,dx - integral sec x,dx

Passo 4

Substituindo de volta e resolvendo para integralsec^3 x,dx:
integral sec^3 x,dx = sec xtan x - l(integral sec^3 x,dx - integral sec x,dxr) = sec xtan x - integral sec^3 x,dx + integral sec x,dx
Reagrupando,
2integral sec^3 x,dx = sec xtan x + integral sec x,dx
Sabendo que integral sec x,dx = lnlvertsec x + tan xrvert + C, concluímos

Passo 5

Isolando a integral original e adicionando a constante de integração, ficamos com
integral sec^3 x,dx = 12l(sec xtan x + lnlvertsec x + tan xrvertr) + C

Resposta

integral sec^3 x,dx = 12l(sec xtan x + lnlvertsec x + tan xrvertr) + C

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