35 Se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|=-3, qual é o valor de \left|\begin{array}{ccc}6 a & 6 d & 6 g \\\\ 6 b & 6 e & 6 h \\\\ 6 c & 6 f & 6 i\end{array}\right| ?

Passo 1

O enunciado dá o determinante de
A = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
como \det(A) = -3. Precisamos achar o determinante de
B = \begin{pmatrix} 6a & 6d & 6g\\\\ 6b & 6e & 6h\\\\ 6c & 6f & 6i \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui são as propriedades de determinante: transposição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Observe que
B = 6\,A^{T},
pois cada elemento de A^{T} é multiplicado por 6.

Passo 3

Usando a propriedade de determinante para escalar uma matriz n\times n, temos
\det(kM) = k^{n}\,\det(M).
Aqui n=3 e k=6. Assim,
\det(B) = \det(6\,A^{T}) = 6^{3}\,\det(A^{T}) = 216\,\det(A^{T}).

Passo 4

Como a transposição não altera o determinante, vale
\det(A^{T}) = \det(A) = -3.
Portanto,
\det(B) = 216 \times (-3) = -648.

Resposta

-648

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