34- Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores positivos do número 120, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 4 é:
a) 1 / 2
b) 3 / 5
c) 1 / 3
d) 2 / 3
e) 3 / 8

Passo 1

O problema nos pede a probabilidade de, ao escolher aleatoriamente um divisor positivo de 120, esse divisor ser múltiplo de 4. O conteúdo envolvido é contagem de divisores de um número a partir de sua fatoração prima e aplicação de probabilidade clássica.

Passo 2

Primeiro fatoramos 120 em primos:
120 = 2^3 cdot 3^1 cdot 5^1
O número total de divisores de um inteiro com fatoração prod pi^ai é prod (ai + 1). Aqui temos
(3+1),(1+1),(1+1) = 4 cdot 2 cdot 2 = 16
Logo, existem 16 divisores positivos de 120.

Passo 3

Queremos só os divisores que são múltiplos de 4. Isso exige que, no divisor escolhido, a potência de 2 seja pelo menos 2 (pois 4=2^2). Então o expoente de 2 pode ser 2 ou 3 (duas opções), o expoente de 3 pode ser 0 ou 1 (duas opções) e o expoente de 5 pode ser 0 ou 1 (duas opções). O total de divisores múltiplos de 4 é
2 times 2 times 2 = 8

Passo 4

A probabilidade desejada é
número de divisores mú<iplos de 4número total de divisores =816=12 úúú

Resposta

a) tfrac12

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