3- Seja \boldsymbol{A} a área da figura limitada pela função f(x)=x^{2}+1 e o eixo das abcissas e calculada por:
A=\int_{0}^{4}\left(x^{2}+1\right) d x
a) Use a Soma de Riemann com \mathrm{n}=4 subintervalos e pontos à direita.
b) Use a Soma de Riemann com \mathrm{n}=4 subintervalos e pontos à esquerda.
c) Interprete o resultado e dê um possível valor para a aproximação da área da figura em questão.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a área
A = \int_{0}^{4}\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx
usando somas de Riemann com n=4 subintervalos, primeiro com pontos à direita e depois com pontos à esquerda. Em seguida, devemos interpretar esses valores e dar uma estimativa para a área.

Passo 2

O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x = \frac{4-0}{4} = 1.
Para a soma à direita, usamos os pontos x_{i}=i\Delta x com i=1,2,3,4. Então
S_{\text{direita}} =\sum_{i=1}^{4}f(x_{i})\,\Delta x =\bigl[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\bigr]\cdot1.
Como f(x)=x^{2}+1, temos
f(1)=2,\;f(2)=5,\;f(3)=10,\;f(4)=17,
logo
S_{\text{direita}}=2+5+10+17=34.

Passo 3

Para a soma à esquerda, usamos os pontos x_{i}=(i-1)\Delta x com i=1,2,3,4, ou seja, x=0,1,2,3. Assim
S_{\text{esquerda}} =\sum_{i=1}^{4}f(x_{i-1})\,\Delta x =\bigl[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\bigr]\cdot1.
Calculando
f(0)=1,\;f(1)=2,\;f(2)=5,\;f(3)=10,
obtemos
S_{\text{esquerda}}=1+2+5+10=18.

Passo 4

Como f(x)=x^{2}+1 é crescente em [0,4], a soma à esquerda fica abaixo da área exata e a soma à direita fica acima. O valor exato da integral é
\int_{0}^{4}(x^{2}+1)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}+x\Bigr]_{0}^{4} =\frac{64}{3}+4 =\frac{76}{3}\approx25{,}33.
Logo a área real fica entre 18 e 34, e uma boa aproximação é cerca de 25{,}3.

Resposta

a) S_{\text{direita}}=34.
b) S_{\text{esquerda}}=18.
c) A área está entre 18 e 34, e podemos aproximar A\approx25{,}3.

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