3.34 Um múltiplo de 6 é obviamente múltiplo de 2 e de 3 . Reciprocamente, todo múltiplo de 2 e de 3 é múltiplo do mmc desses números que é 6 .

Passo 1

O enunciado afirma que o conjunto dos múltiplos de 6 coincide exatamente com a interseção dos múltiplos de 2 e dos múltiplos de 3. O conteúdo é divisibilidade e mínimo múltiplo comum (mmc). Vamos provar as duas implicações:
  1. Se n é múltiplo de 6 então n é múltiplo de 2 e de 3.
  2. Se n é múltiplo de 2 e de 3 então n é múltiplo de 6.

Passo 2

Suponha que n é múltiplo de 6. Por definição, existe um inteiro k tal que
n = 6k
Como 6 = 2cdot3, podemos escrever
n = 2,(3k) e n = 3,(2k)
Logo, 2mid n e 3mid n.

Passo 3

Agora suponha que 2mid n e 3mid n. Isso significa que existem inteiros a e b tais que
n = 2a e n = 3b
Como gcd(2,3)=1, um teorema de divisibilidade diz que se dois inteiros coprimos dividem n, então seu produto também divide n. Assim,
6 = 2cdot3 divide n,
isto é, n é múltiplo de 6.

Resposta

O conjunto de múltiplos de 6 é exatamente a interseção dos múltiplos de 2 com os múltiplos de 3, pois mostramos que
nin 6Bbb Z iff nin 2Bbb Z e nin 3Bbb Z

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