3.34 Um múltiplo de 6 é obviamente múltiplo de 2 e de 3 . Reciprocamente, todo múltiplo de 2 e de 3 é múltiplo do mmc desses números que é 6 .
Passo 1
O enunciado afirma que o conjunto dos múltiplos de 6 coincide exatamente com a interseção dos múltiplos de 2 e dos múltiplos de 3. O conteúdo é divisibilidade e mínimo múltiplo comum (mmc). Vamos provar as duas implicações:
- Se
é múltiplo de 6 então é múltiplo de 2 e de 3. - Se
é múltiplo de 2 e de 3 então é múltiplo de 6.
Passo 2
Suponha que
é múltiplo de 6. Por definição, existe um inteiro
tal que
Como
, podemos escrever
Logo,
e
.
Passo 3
Agora suponha que
e
. Isso significa que existem inteiros
e
tais que
Como
, um teorema de divisibilidade diz que se dois inteiros coprimos dividem
, então seu produto também divide
. Assim,
isto é,
é múltiplo de 6.
Resposta
O conjunto de múltiplos de 6 é exatamente a interseção dos múltiplos de 2 com os múltiplos de 3, pois mostramos que