Dados três números inteiros a, b e c, não nulos, podemos nos perguntar como calcular o seu mínimo múltiplo comum mmc(a, b, c), ou seja, o menor elemento positivo do conjunto dos múltiplos comuns de a, b e c.
Portanto, queremos determinar o menor elemento positivo do conjunto
a Z cap b Z cap c Z=(a Z cap b Z) cap c Z=mmc(a, b) Z cap c Z
Isto nos mostra que
mmc(a, b, c)=mmc(mmc(a, b), c)
Assim, para calcular o mmc de três números recai-se no cálculo de dois mmc de dois números.

Passo 1

O enunciado pergunta como calcular o menor múltiplo comum de três inteiros não-nulos a, b e c. Vamos usar a ideia de interseção de conjuntos de múltiplos, e o fato de que o mmc de dois números gera o conjunto de todos os múltiplos comuns a esses dois números.

Passo 2

Lembramos que, por definição,
e análogo para . O menor múltiplo comum de e , que chamamos de , é o gerador positivo de

Passo 3

Para três números, o conjunto de múltiplos comuns é
Agrupando os dois primeiros:

Passo 4

Mas o conjunto é exatamente o conjunto de múltiplos comuns de e , cujo menor elemento positivo é .

Resposta

mmc(a,b,c) = mmcl(mmc(a,b),,cr)

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