( 3,34 ponto) Use a Função Degrau Unitário para reescrever a função f(t) dada a seguir. Usando a função reescrita encontre a Transformada de Laplace de f(t).
f(t)=\left\{\begin{array}{l} 1 ; 0 \leqslant t<4 \\\\ 0 ; 4 \leqslant t<5 \\\\ 1 ; t \geqslant 5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\begin{cases} 1,&0\le t<4,\\\\ 0,&4\le t<5,\\\\ 1,&t\ge5, \end{cases}
e pede (a) reescrevê-la usando a função degrau unitário e (b) calcular sua transformada de Laplace. Vamos usar a definição de u(t-a) e a linearidade da transformada.

Passo 2

A ideia é montar f(t) como soma de trechos ligados por degraus:
  • Para t\ge0 temos 1 até t=4, depois zera, depois volta a 1 em t=5.
  • A função u(t) vale 1 para t\ge0 e 0 para t<0.
  • Então “ligamos” o valor 1 em t=0 com u(t), “desligamos” em t=4 com -u(t-4) e “religamos” em t=5 com +u(t-5).
    Logo:
f(t)=u(t)\;-\,u(t-4)\;+\;u(t-5).

Passo 3

Para achar a transformada de Laplace, lembramos:
\mathcal L\{u(t)\}=\frac{1}{s}, \qquad \mathcal L\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s},
e que a transformada é linear.

Passo 4

Aplicando linearidade em
f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5)
temos
F(s)=\frac{1}{s}\;-\;\frac{e^{-4s}}{s}\;+\;\frac{e^{-5s}}{s}.
Podemos também escrever de forma única:
F(s)=\frac{1 - e^{-4s} + e^{-5s}}{s}.

Resposta

A reescrita em termos de degrau unitário é
f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5),
e sua transformada de Laplace é
F(s)=\frac{1 - e^{-4s} + e^{-5s}}{s}.

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