Seja A a area limitada pelas curvas: y=-x^{2}+x e x+y=-3. Achar o valor de l=3 A.
Resposta: (1) l=30, (2) l=36, (3) l=48, (4) l=34, (5) l=32.

Passo 1

O enunciado pede a área A da região limitada pelas curvas
y = -x^{2} + x
e
x + y = -3
e em seguida o valor de
l = 3A.
O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas em função de x: vamos encontrar os pontos de interseção, determinar qual curva está acima e depois integrar a diferença.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
-y = x^{2} - x
com
y = -3 - x.
Ou seja,
-x^{2} + x = -3 - x \quad\Longrightarrow\quad -x^{2} + 2x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 2x - 3 = 0.
As raízes são
x = 3 \quad\text{e}\quad x = -1.

Passo 3

Em um x intermediário, por exemplo x=1, temos
\text{parábola: }y = -1 + 1 = 0, \quad \text{reta: }y = -3 - 1 = -4,á
logo a parábola está acima da reta no intervalo [-1,3]. Assim
A = \int_{x=-1}^{3} \bigl[\bigl(-x^{2}+x\bigr) - \bigl(-3 - x\bigr)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{3} \bigl(-x^{2} + 2x + 3\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int \bigl(-x^{2} + 2x + 3\bigr)\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 3x + C.
Avaliada de -1 a 3:
\Bigl[-\tfrac{x^{3}}{3} + x^{2} + 3x\Bigr]_{-1}^{3} = \bigl(-9 + 9 + 9\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{3} + 1 -3\bigr) = 9 - \bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) = 9 + \tfrac{5}{3} = \tfrac{32}{3}.
Portanto
A = \tfrac{32}{3}.

Passo 5

Finalmente
l = 3A = 3 \times \tfrac{32}{3} = 32.

Resposta

(5) l = 32

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