Derive as funções abaixo e indique quais regras de derivação utilizou:
f(x)=\frac{x^{2} \cdot \operatorname{sen}(x)}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}\,\sin(x)}{e^{x}}
Aqui vamos usar as seguintes regras de derivação:
– regra do quociente para \frac{u(x)}{v(x)},
– regra do produto para u(x)=x^2\sin(x),
– derivada de \sin(x) e de e^x.

Passo 2

Seja
u(x)=x^2\sin(x), \quad v(x)=e^x.
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 3

Para calcular u'(x) aplicamos a regra do produto em u(x)=x^2\sin(x):
u'(x) =(x^2)'\,\sin(x)+x^2\,(\sin(x))' =2x\,\sin(x)+x^2\cos(x).
Aqui usamos também que \frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).

Passo 4

Para calcular v'(x) usamos que a derivada de e^x é ela mesma:
v'(x)=\frac{d}{dx}e^x=e^x.

Passo 5

Substituindo em
f'(x) =\frac{\bigl(2x\sin(x)+x^2\cos(x)\bigr)e^x -x^2\sin(x)\,e^x}{(e^x)^2},
fatoramos e^x no numerador:

Passo 6

f'(x) =\frac{e^x\bigl(2x\sin(x)+x^2\cos(x)-x^2\sin(x)\bigr)}{e^{2x}} =\frac{2x\sin(x)+x^2\bigl(\cos(x)-\sin(x)\bigr)}{e^x}.

Resposta

f'(x) =\frac{2x\sin(x)+x^2\bigl(\cos(x)-\sin(x)\bigr)}{e^x}.

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