(a) (2,0 pontos) Encontre os pontos críticos da função f(x, y)=x e^{2 x^{2}+2 y^{2}}.
(b) \left(1,34\right. ponto) Usando o Teste da 2{ }^{\text {a }} Derivada, classifique os pontos críticos de f(x, y), se possível.

Passo 1

O enunciado pede (a) encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x\,e^{2x^{2}+2y^{2}}
e (b) usar o teste da segunda derivada para classificá-los. Para achar pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e resolver
\frac{\partial f}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.

Passo 2

Vamos à derivada em relação a x. Usamos a regra do produto em x\cdot e^{2x^{2}+2y^{2}}:
– derivada de x é 1, mantendo e^{2x^{2}+2y^{2}},
– mais x vezes a derivada de e^{2x^{2}+2y^{2}}, que é e^{2x^{2}+2y^{2}}\cdot(4x).
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2x^{2}+2y^{2}} + x\cdot e^{2x^{2}+2y^{2}}\cdot 4x = e^{2x^{2}+2y^{2}}\,(1+4x^{2}).

Passo 3

Agora a derivada em relação a y. Temos só o fator e^{2x^{2}+2y^{2}} dependendo de y, então
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot e^{2x^{2}+2y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}+2y^{2}) = x\,e^{2x^{2}+2y^{2}}\cdot(4y) =4xy\,e^{2x^{2}+2y^{2}}.

Passo 4

Para resolver
e^{2x^{2}+2y^{2}}\,(1+4x^{2})=0, \qquad 4xy\,e^{2x^{2}+2y^{2}}=0,
notamos que e^{2x^{2}+2y^{2}}>0 sempre. Assim o primeiro exige 1+4x^{2}=0, que não tem solução real. Logo o sistema não tem solução em \R^2. Concluímos que não existem pontos críticos de f.

Passo 5

Como não há pontos críticos, não há onde aplicar o teste da segunda derivada.

Resposta

(a) A função não possui pontos críticos.
(b) Não é possível classificar pontos críticos pois nenhum existe.

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