Derive as funções abaixo e indique quais regras de derivação utilizou:
f(x)=\left(3 x^{2}+x\right)\left(1+x+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(3x^{2} + x\bigr)\bigl(1 + x + x^{3}\bigr)
O conteúdo é derivação de produto de funções, e vamos usar as seguintes regras:
– regra do produto,
– regra da soma (linearidade da derivada),
– regra da potência (derivada de x^{n}).

Passo 2

Calcular as derivadas dos dois fatores separadamente usando soma e potência:
Derivada de u(x)=3x^{2}+x:
– apliquei a regra da soma e a regra da potência:
u'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{2}) + \frac{d}{dx}(x) = 3\cdot2x^{1} + 1 = 6x + 1.
Derivada de v(x)=1 + x + x^{3}:
– de novo soma e potência:
v'(x) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{3}) = 0 + 1 + 3x^{2} = 1 + 3x^{2}.

Passo 3

Aplicar a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) \;+\; u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) = (6x+1)\,(1 + x + x^{3}) + (3x^{2}+x)\,(1 + 3x^{2}).

Passo 4

Fazer a multiplicação de cada termo:
(6x+1)(1 + x + x^{3}) =6x + 6x^{2} + 6x^{4} + 1 + x + x^{3} =6x^{4} + x^{3} + 6x^{2} + 7x +1,
(3x^{2}+x)(1 + 3x^{2}) =3x^{2} + 9x^{4} + x + 3x^{3} =9x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + x.

Passo 5

Somar os dois resultados e agrupar termos semelhantes:
f'(x) = \bigl(6x^{4} + x^{3} + 6x^{2} + 7x +1\bigr) + \bigl(9x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + x\bigr)
= (6x^{4}+9x^{4}) + (x^{3}+3x^{3}) + (6x^{2}+3x^{2}) + (7x+x) + 1
=15x^{4} + 4x^{3} + 9x^{2} + 8x + 1.

Resposta

f'(x) = 15x^{4} + 4x^{3} + 9x^{2} + 8x + 1.
Regras usadas: regra do produto, regra da soma (linearidade) e regra da potência.

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