- Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando derivação implícita.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provarmos que, se temos
, então a derivada
é igual a
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de derivada da função inversa, além de manipular um pouco as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa que
. Isso é útil porque transformar a equação dessa forma facilita a aplicação da derivada implícita. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivarmos
, precisamos usar a regra da cadeia. Derivando, ficamos com:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, queremos isolar
para encontrar a expressão da derivada. Então, dividimos ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Precisamos expressar
em termos de
. Como sabemos que
, podemos usar a identidade trigonométrica
para encontrar
:
Resposta
Portanto, substituindo
na expressão de
, temos: