1. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando derivação implícita.
    (a) y = arcsen(u) => y' = u' / raiz(1 - u^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provarmos que, se temos , então a derivada é igual a . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de derivada da função inversa, além de manipular um pouco as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que . Isso é útil porque transformar a equação dessa forma facilita a aplicação da derivada implícita. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivarmos , precisamos usar a regra da cadeia. Derivando, ficamos com:
Aqui, é a derivada de em relação a , e é a derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, queremos isolar para encontrar a expressão da derivada. Então, dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 5

Precisamos expressar em termos de . Como sabemos que , podemos usar a identidade trigonométrica para encontrar :

Resposta

Portanto, substituindo na expressão de , temos:

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