1. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s1 = t^3 + 4t^2 + t - 1 e s2 = 2 t^3 - 5 t^2 + t + 2. Determine a velocidade e as posições desses dois corpos no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere s1 e s2 em metros e t em segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento retilíneo onde duas posições são dadas por funções do tempo. A missão aqui é encontrar a velocidade e a posição de cada corpo no momento em que as acelerações deles são iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, mais especificamente de derivadas para achar velocidade e aceleração a partir das funções de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, se é a posição, então a velocidade é:
E a aceleração é a segunda derivada da posição, ou a primeira derivada da velocidade:

Passo 3

Vamos calcular a velocidade e a aceleração para cada uma das funções de posição dadas.
Para o primeiro corpo:
Calculando a velocidade :
Calculando a aceleração :
Para o segundo corpo:
Calculando a velocidade :
Calculando a aceleração :

Passo 4

Agora, queremos encontrar o instante em que as acelerações dos dois corpos são iguais. Ou seja:
Substituindo as expressões que encontramos:
Vamos resolver essa equação para :

Passo 5

Com o valor de segundos, vamos calcular as velocidades e posições de cada corpo nesse instante.
Para o primeiro corpo:
Velocidade :
Posição :
Para o segundo corpo:
Velocidade :
Posição :

Resposta

No instante de segundos, as velocidades e posições dos corpos são:
  • Primeiro Corpo:
    • Velocidade:
    • Posição:
  • Segundo Corpo:
    • Velocidade:
    • Posição:

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