- Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações
e
. Determine a velocidade e as posições desses dois corpos no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere
e
em metros e
em segundos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento retilíneo onde duas posições são dadas por funções do tempo. A missão aqui é encontrar a velocidade e a posição de cada corpo no momento em que as acelerações deles são iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, mais especificamente de derivadas para achar velocidade e aceleração a partir das funções de posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, se
é a posição, então a velocidade
é:
E a aceleração é a segunda derivada da posição, ou a primeira derivada da velocidade:
Passo 3
Vamos calcular a velocidade e a aceleração para cada uma das funções de posição dadas.
Para o primeiro corpo:
Calculando a velocidade
:
Calculando a aceleração
:
Para o segundo corpo:
Calculando a velocidade
:
Calculando a aceleração
:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o instante
em que as acelerações dos dois corpos são iguais. Ou seja:
Substituindo as expressões que encontramos:
Vamos resolver essa equação para
:
Passo 5
Com o valor de
segundos, vamos calcular as velocidades e posições de cada corpo nesse instante.
Para o primeiro corpo:
Velocidade
:
Posição
:
Para o segundo corpo:
Velocidade
:
Posição
:
Resposta
No instante de
segundos, as velocidades e posições dos corpos são:
-
Primeiro Corpo:
- Velocidade:
- Posição:
- Velocidade:
-
Segundo Corpo:
- Velocidade:
- Posição:
- Velocidade: