Exercs. 35-38: Ache todos os números para os quais f é descontínua.
35 f(x)=\frac{\left|x^{2}-16\right|}{x^{2}-16} :
Passo 1
O enunciado pede: “Ache todos os números para os quais f é descontínua”, sendo
f(x)=\frac{\left|x^{2}-16\right|}{x^{2}-16}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão tem um denominador x^{2}-16.
O numerador é o valor absoluto \left|x^{2}-16\right|.
Vamos precisar verificar a definição de continuidade em pontos onde a função está definida e também onde o denominador pode anular-se.
Passo 2
Determinar o domínio (onde a função está definida).
Uma função racional como esta está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Logo precisamos das soluções de
x^{2}-16=0.
Resolver isso explicitamente:
x^{2}-16=(x-4)(x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=4 \text{ ou } x=-4.
Portanto o denominador é zero em x=\pm 4, e a função não está definida nesses pontos. Logo o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -4,\\ x\neq 4\}.
Passo 3
Reescrever f\) de forma mais simples usando a definição de valor absoluto. Lembrando que, para qualquer expressão \(A\),
\[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui (A=x^{2}-16]. Então há dois casos:
Caso 1: x^{2}-16>0\). Isso acontece quando \(|x|>4\) (isto é, \(x<-4\) ou \(x>4\)). Então \(|x^{2}-16|=x^{2}-16\) e
\[f(x)=\frac{x^{2}-16}{x^{2}-16}=1\qquad\text{para }|x|>4.
Caso 2: x^{2}-16<0. Isso acontece quando |x|<4 (isto é, -4<x<4). Então |x^{2}-16|=-(x^{2}-16)=16-x^{2} e
Analisar continuidade nos intervalos onde a função está definida (fora de \pm 4).
Teorema/prática usada: funções constantes são contínuas em todos os pontos do seu domínio. Como em cada intervalo aberto (-\infty,-4), (-4,4) e (4,\infty) a função vale constantemente 1, -1 e 1 respectivamente, concluímos que f é contínua em todo ponto desses intervalos. Portanto não há descontinuidade em nenhum x com x\neq\pm 4.
Passo 5
Verificar continuidade em x=4.
Para ser contínua em x=4 seria necessário que f(4) existisse e que
\lim_{x\to 4} f(x)=f(4).
Mas já sabemos que f(4) não existe (denominador zero), então f não é contínua em x=4. Para entender o tipo de descontinuidade, calculemos os limites laterais:
Limite pela esquerda (x\to 4^-): para x um pouco menor que 4 temos -4<x<4, então f(x)=-1. Assim
\lim_{x\to 4^-} f(x) = -1.
Limite pela direita (x\to 4^+): para x um pouco maior que 4 temos x>4, então f(x)=1. Assim
\lim_{x\to 4^+} f(x) = 1.
Como os limites laterais são diferentes, \lim_{x\to 4} f(x) não existe. Portanto em x=4 há uma descontinuidade do tipo salto (jump) e a função é descontínua.
Passo 6
Verificar continuidade em x=-4.
Mesmo raciocínio: f(-4) não existe porque o denominador anula-se. Calcular limites laterais:
Limite pela esquerda (x\to -4^-): para x<-4 temos f(x)=1. Logo
\lim_{x\to -4^-} f(x)=1.
Limite pela direita (x\to -4^+): para -4<x<4 temos f(x)=-1. Logo
\lim_{x\to -4^+} f(x)=-1.
Os dois limites laterais são diferentes, logo \lim_{x\to -4} f(x) não existe. Em x=-4 também há uma descontinuidade do tipo salto e a função é descontínua.
Passo 7
Conclusão final: f é contínua para todo x\in\mathbb{R} exceto em x=-4 e x=4. Nos pontos x=\pm 4 a função é indefinida e apresenta descontinuidade do tipo salto.