Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais
é contínua.
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Passo 1
O enunciado pede: “Ache todos os valores para os quais
é contínua” para a função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é dada por uma razão cujo numerador é
e o denominador é . - O domínio natural exige que a expressão faça sentido (ou seja, que a raiz e a divisão sejam definidas).
- A pergunta única é: para quais valores de
a função é contínua?
Passo 2
Identificar onde a expressão está definida (domínio).
- A função
(numerador) está definida para todo . - A função
(raiz cúbica) também está definida para todo porque a raiz cúbica de um número real sempre existe (raiz ímpar). - No denominador temos
. Essa quantidade é definida para todo , mas a divisão por zero é proibida. Então devemos exigir
- A equação
ocorre exatamente quando , ou seja, em .
Conclusão do domínio: a função está definida para todos os reais exceto. Em notação:
Passo 3
Lembrando conceitos de continuidade que vamos usar (explicação passo a passo):
- Uma função polinomial
é contínua em todo . Em particular, é contínua em todo . - A função raiz cúbica
é contínua em todo . Uma razão intuitiva: a função cúbica é contínua e bijetora em , e a raiz cúbica é a inversa da cúbica; inversas de funções contínuas e monotônicas são contínuas. - Se
e são funções contínuas em um ponto e , então a função quociente é contínua em . Isto é um teorema básico sobre operações com funções contínuas.
Aqui explico o teorema do quociente com mais calma:
- Suponha que
e e . - Então
, logo é contínua em . - Em prática de prova, evita-se divisão por algo que tende a zero, pois isso pode fazer a razão divergir.
Passo 4
Aplicar os fatos ao nosso caso:
- Tome
. Já sabemos que é contínua em todo . - Tome
. Já sabemos que é contínua em todo . - Pelo teorema do quociente, a função
será contínua em todo ponto tal que . - Já vimos que
só em . Portanto é contínua em todo com .
Passo 5
Verificar o que ocorre em
para ter certeza que não é contínua aí:
- Substitua
. Então
- Note que
que tende a quando . - Mas
diverge quando : se essa parcela tende a ; se tende a . - Portanto os limites laterais de
quando não existem como números finitos (têm sinais opostos e divergem em módulo). Logo não há limite finito em e além disso nem está definida em . - Conclusão:
não é contínua em .
Passo 6
Resposta final combinando domínio e continuidade local:
- A função
é contínua exatamente em todos os pontos onde está definida e o denominador não é zero. Isso corresponde a todos os com . - Em
a função não está definida e os limites laterais divergem, então não há continuidade nem possibilidade de “remover” a descontinuidade.