Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais f é contínua.
42 f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x-4}}

Passo 1

O enunciado pede: “Ache todos os valores para os quais f é contínua” para a função
f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x-4}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é dada por uma razão cujo numerador é x e o denominador é \sqrt[3]{x-4}.
  • O domínio natural exige que a expressão faça sentido (ou seja, que a raiz e a divisão sejam definidas).
  • A pergunta única é: para quais valores de x a função f é contínua?

Passo 2

Identificar onde a expressão está definida (domínio).
  • A função x\mapsto x (numerador) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função t\mapsto \sqrt[3]{t} (raiz cúbica) também está definida para todo t\in\mathbb{R} porque a raiz cúbica de um número real sempre existe (raiz ímpar).
  • No denominador temos \sqrt[3]{x-4}. Essa quantidade é definida para todo x\in\mathbb{R}, mas a divisão por zero é proibida. Então devemos exigir
\sqrt[3]{x-4}\neq 0.
  • A equação \sqrt[3]{x-4}=0 ocorre exatamente quando x-4=0, ou seja, em x=4.
    Conclusão do domínio: a função está definida para todos os reais exceto x=4. Em notação:
\text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{4\}.

Passo 3

Lembrando conceitos de continuidade que vamos usar (explicação passo a passo):
  • Uma função polinomial p(x) é contínua em todo \mathbb{R}. Em particular, x\mapsto x é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função raiz cúbica r(t)=\sqrt[3]{t} é contínua em todo \mathbb{R}. Uma razão intuitiva: a função cúbica t\mapsto t^3 é contínua e bijetora em \mathbb{R}, e a raiz cúbica é a inversa da cúbica; inversas de funções contínuas e monotônicas são contínuas.
  • Se g e h são funções contínuas em um ponto a e h(a)\neq 0, então a função quociente g/h é contínua em a. Isto é um teorema básico sobre operações com funções contínuas.
Aqui explico o teorema do quociente com mais calma:
  • Suponha que \lim_{x\to a} g(x)=g(a) e \lim_{x\to a} h(x)=h(a) e h(a)\neq 0.
  • Então \lim_{x\to a} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g(a)}{h(a)}, logo \frac{g}{h} é contínua em a.
  • Em prática de prova, evita-se divisão por algo que tende a zero, pois isso pode fazer a razão divergir.

Passo 4

Aplicar os fatos ao nosso caso:
  • Tome g(x)=x. Já sabemos que g é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Tome h(x)=\sqrt[3]{x-4}. Já sabemos que h é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Pelo teorema do quociente, a função f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} será contínua em todo ponto a tal que h(a)\neq 0.
  • Já vimos que h(a)=0 só em a=4. Portanto f é contínua em todo a\in\mathbb{R} com a\neq 4.

Passo 5

Verificar o que ocorre em x=4 para ter certeza que não é contínua aí:
  • Substitua t=x-4. Então
f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x-4}}=\frac{t+4}{\sqrt[3]{t}}=\frac{t}{\sqrt[3]{t}}+\frac{4}{\sqrt[3]{t}}.
  • Note que \dfrac{t}{\sqrt[3]{t}}=\sqrt[3]{t^2} que tende a 0 quando t\to 0.
  • Mas \dfrac{4}{\sqrt[3]{t}}=4\,\sqrt[3]{\frac{1}{t}} diverge quando t\to 0: se t\to 0^+ essa parcela tende a +\infty; se t\to 0^- tende a -\infty.
  • Portanto os limites laterais de f(x) quando x\to 4 não existem como números finitos (têm sinais opostos e divergem em módulo). Logo não há limite finito em x=4 e além disso f nem está definida em x=4.
  • Conclusão: f não é contínua em x=4.

Passo 6

Resposta final combinando domínio e continuidade local:
  • A função f é contínua exatamente em todos os pontos onde está definida e o denominador não é zero. Isso corresponde a todos os x\in\mathbb{R} com x\neq 4.
  • Em x=4 a função não está definida e os limites laterais divergem, então não há continuidade nem possibilidade de “remover” a descontinuidade.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{4\}

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