Determine os limites das seguintes sequiências:
lim n infty n-sen nn+cos n

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = n - sin nn + cos n
quando n to infty.
O conteúdo é limite de sequência de termo geral racional, para o qual vamos usar que sin n e cos n são acotados e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Como -1 <= sin n <= 1 e -1 <= cos n <= 1, temos para todo n>=2:
n - 1 ;<=; n - sin n ;<=; n + 1,
n - 1 ;<=; n + cos n ;<=; n + 1
Além disso, para n>=2 o denominador n+cos n é positivo.

Passo 3

Dividindo termo a termo essas desigualdades (mantendo a ordem, já que o denominador é positivo), obtemos
n-1,n+1, ;<=; n - sin n,n + cos n, ;<=; n+1,n-1,

Passo 4

Calculamos os limites das sequências extremas:
limntoinftyn-1n+1 = limntoinfty1 - 1/n1 + 1/n = 1,
limntoinftyn+1n-1 = limntoinfty1 + 1/n1 - 1/n = 1

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como ambas as sequências extremas tendem a 1, segue que
limntoinftyn - sin nn + cos n = 1

Resposta

1

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