Determine os limites das seguintes sequiências:
lim n infty n^2 ln (n)2^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limntoinftyn^2,ln(n)2^n
Aqui o conteúdo é comparação de crescimento entre funções polinomiais (mais um logaritmo) e funções exponenciais. Sabemos que a parte exponencial cresce muito mais rápido, mas vamos comprovar isso de forma rigorosa usando o critério da razão.

Passo 2

Defina an = n^2,ln(n)2^n. Vamos estudar a razão
an+1an = (n+1)^2,ln(n+1)2^,n+1n^2,ln(n)2^,n = (n+1)^22,n^2;ln(n+1)ln(n)
Para n grande temos (n+1)^2n^2to1 e ln(n+1)ln(n)to1. Logo

Passo 3

limntoinftyan+1an = 12,<1
Pelo critério da razão, se essa razão limite é menor que 1, então anto0.

Resposta

limntoinftyn^2,ln(n)2^n = 0

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