Ex. 5.35 Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar;
i) uma base e a dimensão de U.
ii) uma base e a dimensão de W.
iii) uma base e a dimensão de \mathrm{U}+\mathrm{W}.
iv) uma base e a dimensão de \mathrm{U} \cap W. nos seguintes casos;
u=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=0\right\}, W=\{(x, y, 0) ; x, y \in \mathbb{R}\}, V= \mathbb{R}^{3}.
U=\left\{A \in M_{2} ; \operatorname{tr}(A)=0\right\}, W=\left\{A \in M_{2} ; A^{t}=-A\right\}, V=M_{2}, onde \operatorname{tr}(A) é a soma dos elementos da diagonal principal de A, chamado de traço de A
O enunciado pede para, em cada um dos três casos dados, encontrar bases e dimensões dos subespaços U, W, da soma U+W e da interseção U\cap W. Vamos usar que cada condição linear imposta define restrições que reduzem a dimensão e as fórmulas
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Passo 2
Caso 1: subespaços de \mathbb{R}^3.
i) U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\}.
Escrevendo z=-x-y, todo vetor em U é
(x,y,-x-y)=x\,(1,0,-1)+y\,(0,1,-1).
Logo uma base de U é \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}
e \dim U=2.
ii) W=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\}.
Um vetor genérico é x\,(1,0,0)+y\,(0,1,0),
então uma base de W é \{(1,0,0),(0,1,0)\}
e \dim W=2.
Passo 3
Ainda caso 1.
iii) U+W\subseteq\mathbb{R}^3. Como qualquer (a,b,c) pode ser escrito como combinação de vetores de U e W, tem-se U+W=\mathbb{R}^3.
Logo \dim(U+W)=3 e pode-se usar por exemplo a base padrão \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
iv) U\cap W são vetores com z=0 e x+y+z=0, ou seja z=0, y=-x. Então
U\cap W=\{(x,-x,0):x\in\mathbb{R}\}=x\,(1,-1,0).
Uma base é \{(1,-1,0)\} e \dim(U\cap W)=1.
Passo 4
Caso 2: subespaços de M_2(\mathbb{R}).
i) U=\{A\in M_2:\tr(A)=0\}.
Escrevendo
Uma base de U é \Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigr\} e \dim U=3.
ii) W=\{A\in M_2:A^t=-A\} (matrizes antissimétricas).
Qualquer A\in W é da forma
Base de W é \bigl\{\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}\bigr\} e \dim W=1.
Passo 5
Ainda caso 2.
iii) Como toda matriz antissimétrica tem traço zero, W\subseteq U. Logo
U+W=U,\quad \dim(U+W)=\dim U=3,
e a base é a mesma de U.
iv) U\cap W=W, pois W\subset U. Assim \dim(U\cap W)=1 e a base é a de W.
Passo 6
Caso 3: subespaços de \mathscr{P}_2(\mathbb{R}).
i) U=\{p\in\mathscr{P}_2:p'(t)=0\}.
Isso significa p(t)=a, constante.
Base de U é \{1\} e \dim U=1.
ii) W=\{p(t)=at^2+bt+c:p(0)=p(1)\}.
A condição p(0)=c, p(1)=a+b+c força a+b=0, isto é b=-a.
Logo
p(t)=a(t^2-t)+c,
com a,c\in\mathbb{R}.
Base de W é \{\,t^2-t,\;1\} e \dim W=2.
Passo 7
Ainda caso 3.
iii) Como todo polinômio constante satisfaz p(0)=p(1), tem-se U\subseteq W.
Logo U+W=W, com \dim(U+W)=2 e base \{t^2-t,1\}.
iv) U\cap W=U, pois U\subset W. Assim \dim(U\cap W)=1 e base \{1\}.
Resposta
Em \mathbb{R}^3:
i) U: base \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}, \dim U=2.
ii) W: base \{(1,0,0),(0,1,0)\}, \dim W=2.
iii) U+W=\mathbb{R}^3: base \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim=3.
iv) U\cap W: base \{(1,-1,0)\}, \dim=1.
Em M_2(\mathbb{R}):
i) U (traço zero): base \bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\bigr\}, \dim=3.
ii) W (antissimétricas): base \{\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}\}, \dim=1.
iii) U+W=U: mesma base de U, \dim=3.
iv) U\cap W=W: mesma base de W, \dim=1.
Em \mathscr{P}_2(\mathbb{R}):
i) U (constantes): base \{1\}, \dim=1.
ii) W p(0)=p(1): base \{t^2-t,1\}, \dim=2.
iii) U+W=W: base \{t^2-t,1\}, \dim=2.
iv) U\cap W=U: base \{1\}, \dim=1.