A entrada de um sistema causal, linear e invariante no tempo é
A transformada Z da saída deste sistema é
a) Determine
, a transformada Z da resposta ao impulso do sistema. Defina a sua região de convergência.
b) Qual é a região de convergência de
?
c) Determine
.
b) Qual é a região de convergência de
c) Determine
Passo 1
O enunciado descreve um sistema LTI, causal e invariante no tempo, cuja entrada é
e cuja saída em domínio
é
Pede-se:
a) , a transformada
da resposta ao impulso, com sua região de convergência (ROC);
b) a ROC de ;
c) , a saída no tempo.
Para isso vamos usar:
a)
b) a ROC de
c)
Para isso vamos usar:
- Z-transformes básicas e suas ROCs.
- A relação
para achar . - Interseção de ROCs na multiplicação de sinais.
- Frações parciais e inversa da Z-transformada.
Passo 2
Calcular
em termos de
:
- Para
(sequência para ):
Escrevendo em
:
- Para
:
Logo
Agora
Passo 3
O denominador de
é
, que se anula em
. Como o sistema é causal, a ROC de
está fora do maior raio de polo, ou seja
Passo 4
A ROC de
é a interseção das ROCs de
e de
. Temos
A interseção é
Passo 5
Para achar
, fazemos frações parciais em
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes:
leva a
e
. Assim
Invertendo cada termo (ROC
garante causalidade):
Logo
Resposta
a)
b)
c)