A entrada de um sistema causal, linear e invariante no tempo é
x[n]=u[-n-1]+\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n] .
A transformada Z da saída deste sistema é
Y(z)=\frac{-\frac{1}{2} z^{-1}}{\left(1-\frac{1}{2} z^{-1}\right)\left(1+z^{-1}\right)} .
a) Determine H(z), a transformada Z da resposta ao impulso do sistema. Defina a sua região de convergência.
b) Qual é a região de convergência de Y(z) ?
c) Determine y[n].

Passo 1

O enunciado descreve um sistema LTI, causal e invariante no tempo, cuja entrada é
x[n]=u[-n-1]+\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}u[n]
e cuja saída em domínio z é
Y(z)=\frac{-\tfrac12\,z^{-1}}{\bigl(1-\tfrac12\,z^{-1}\bigr)\bigl(1+z^{-1}\bigr)}.
Pede-se:
a) H(z), a transformada Z da resposta ao impulso, com sua região de convergência (ROC);
b) a ROC de Y(z);
c) y[n], a saída no tempo.
Para isso vamos usar:
  1. Z-transformes básicas e suas ROCs.
  2. A relação Y(z)=H(z)\,X(z) para achar H(z).
  3. Interseção de ROCs na multiplicação de sinais.
  4. Frações parciais e inversa da Z-transformada.

Passo 2

Calcular X(z)=\mathcal{Z}\{u[-n-1]\}+\mathcal{Z}\{(1/2)^{n}u[n]\} em termos de z^{-1}:
  1. Para u[-n-1] (sequência para n\le-1):
\sum_{n=-\infty}^{-1}z^{-n} =\sum_{k=1}^{\infty}z^{\,k} =\frac{z}{1-z} \quad\text{ROC: }|z|<1.
Escrevendo em z^{-1}:
\frac{z}{1-z} =-\frac{z}{z-1} =-\frac{1}{1-z^{-1}}.
  1. Para \bigl(\tfrac12\bigr)^{n}u[n]:
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}z^{-n} =\frac{1}{1-\tfrac12\,z^{-1}} \quad\text{ROC: }|z|>\tfrac12.
Logo
X(z) =-\frac{1}{1-z^{-1}} +\frac{1}{1-\tfrac12\,z^{-1}} =\frac{-\tfrac12\,z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-\tfrac12\,z^{-1})}.
Agora
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{\displaystyle\frac{-\tfrac12\,z^{-1}}{(1-\tfrac12z^{-1})(1+z^{-1})}} {\displaystyle\frac{-\tfrac12\,z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-\tfrac12z^{-1})}} =\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}.

Passo 3

O denominador de H(z) é 1+z^{-1}, que se anula em z=-1. Como o sistema é causal, a ROC de H(z) está fora do maior raio de polo, ou seja
\text{ROC de }H(z):\quad |z|>1.

Passo 4

A ROC de Y(z)=H(z)\,X(z) é a interseção das ROCs de X(z) e de H(z). Temos
\text{ROC de }X(z):\;|z|<1\;\cup\;|z|>\tfrac12, \quad \text{ROC de }H(z):\;|z|>1.
A interseção é
\text{ROC de }Y(z):\quad |z|>1.

Passo 5

Para achar y[n], fazemos frações parciais em
Y(z) =\frac{-\tfrac12\,z^{-1}}{(1-\tfrac12z^{-1})(1+z^{-1})} =\frac{A}{1-\tfrac12z^{-1}}+\frac{B}{1+z^{-1}}.
Multiplicando ambos os lados por (1-\tfrac12z^{-1})(1+z^{-1}) e igualando coeficientes:
-\tfrac12\,z^{-1} =A(1+z^{-1})+B\bigl(1-\tfrac12z^{-1}\bigr),
leva a A=-\tfrac13 e B=\tfrac13. Assim
Y(z) =-\tfrac13\frac{1}{1-\tfrac12z^{-1}} +\tfrac13\frac{1}{1+z^{-1}}.
Invertendo cada termo (ROC |z|>1 garante causalidade):
\mathcal{Z}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{1-\tfrac12z^{-1}}\Bigr\} =\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}u[n], \quad \mathcal{Z}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{1+z^{-1}}\Bigr\} =(-1)^{n}u[n].
Logo
y[n] =-\tfrac13\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}u[n] +\tfrac13(-1)^{n}u[n] =\frac{1}{3}\bigl[(-1)^{n}-\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}\bigr]u[n].

Resposta

a) H(z)=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}},\quad\text{ROC: }|z|>1.
b) \text{ROC de }Y(z):|z|>1.
c) y[n]=\frac{1}{3}\bigl[(-1)^{n}-\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}\bigr]u[n].

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