Seja o sistema linear e invariante no tempo representado pela equação de diferenças:
y[n]-\frac{1}{5} y[n-1]=x[n]-\frac{1}{2} x[n-1] .
(a) Encontre a resposta em freqüência H\left(e^{j \omega}\right) desse sistema. (b) Determine a resposta y[n] desse sistema quando a entrada é x[n]=\delta[n].

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI descrito pela equação de diferenças
y[n]-\tfrac{1}{5}\,y[n-1]=x[n]-\tfrac{1}{2}\,x[n-1].
Pede em (a) a resposta em frequência H(e^{j\omega}), que obtemos aplicando a DTFT; e em (b) a saída y[n] quando x[n]=\delta[n], ou seja, a resposta ao impulso h[n].

Passo 2

Tomando DTFT em ambos os lados usamos que
\mathcal{F}\{y[n-1]\}=e^{-j\omega}Y(e^{j\omega}) e \mathcal{F}\{x[n-1]\}=e^{-j\omega}X(e^{j\omega}). Assim
Y(e^{j\omega})\Bigl(1-\tfrac{1}{5}e^{-j\omega}\Bigr) = X(e^{j\omega})\Bigl(1-\tfrac{1}{2}e^{-j\omega}\Bigr).
Logo a resposta em frequência é
H\bigl(e^{j\omega}\bigr) =\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})} =\frac{1-\tfrac12e^{-j\omega}}{1-\tfrac15e^{-j\omega}}.

Passo 3

Para x[n]=\delta[n] temos y[n]=h[n] e a mesma relação de diferença vira
h[n]-\tfrac15\,h[n-1] =\delta[n]-\tfrac12\,\delta[n-1].
Como o sistema é causal, h[n]=0 para n<0. Para n=0 e n=1 encontramos:
  • Em n=0: h[0]=1.
  • Em n=1: h[1]-\tfrac15h[0]=-\tfrac12;⇒; h[1]=-\tfrac{3}{10}.

Passo 4

Para n\ge2 não há termo de \delta, então vale a parte homogênea
h[n]=\tfrac15\,h[n-1],
que por iteração dá
h[n] =-\tfrac{3}{10}\Bigl(\tfrac15\Bigr)^{\,n-1},\quad n\ge1.
Em forma fechada, usando u[n] e \delta[n], obtém-se
h[n] =2{,}5\,\delta[n]\;-\;1{,}5\,(0{,}2)^{n}u[n].

Resposta

(a) H\bigl(e^{j\omega}\bigr) =\frac{1-\tfrac12e^{-j\omega}}{1-\tfrac15e^{-j\omega}}.
(b) y[n]=h[n] =\begin{cases} 1, & n=0,\\\\ -\tfrac{3}{10}\bigl(\tfrac15\bigr)^{n-1}, & n\ge1,\\\\ 0, & n<0, \end{cases}
ou de forma compacta
h[n] =2{,}5\,\delta[n]\;-\;1{,}5\,(0{,}2)^{n}u[n].

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