3.35 Dados os vetores
, calcule os produtos escalares
.
Passo 1
O enunciado pede os produtos escalares entre três vetores dados. Informações fornecidas (peguei-as do enunciado):
-
. -
. -
.
As perguntas são: calcular
,
e
.
Passo 2
Definição e fórmula do produto escalar (passo-a-passo didático):
- Se dois vetores em coordenadas cartesianas são
e , o produto escalar é dado por
- Aqui cada
representa as componentes do vetor nas direções , respectivamente; iguais para . - Intuição rápida: multiplica-se componente a componente e soma-se tudo. Isso dá um número (escalar).
- Observação útil na prova: com números inteiros pequenos isso é só multiplicar e somar — dá pra fazer de cabeça.
Transformando os vetores dados em componentes:
Passo 3
Cálculo de
seguindo a fórmula componente a componente:
Agora faço cada multiplicação e a soma:
Somando:
Portanto o valor obtido é
.
Passo 4
Cálculo de
:
Multiplicações:
Somando:
Logo o resultado é
.
Passo 5
Cálculo de
:
Multiplicações:
Somando:
Portanto o produto escalar é
.
Passo 6
Pequeno exemplo extra (pra reforçar a técnica): se
e
então
o que indica que
e
são ortogonais. Dica de prova: sempre faça componente a componente; se der zero, vetores ortogonais.