3.35 Dados os vetores \mathbf{P}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}-\mathbf{k}, \mathbf{Q}=5 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}+3 \mathbf{k} \mathbf{e} \mathbf{S}=-3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j} -5 \mathbf{k}, calcule os produtos escalares \mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}, \mathbf{P} \cdot \mathbf{S} \in \mathbf{Q} \cdot \mathbf{S}.

Passo 1

O enunciado pede os produtos escalares entre três vetores dados. Informações fornecidas (peguei-as do enunciado):
  • \mathbf{P}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-\mathbf{k}.
  • \mathbf{Q}=5\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
  • \mathbf{S}=-3\mathbf{i}+2\mathbf{j}-5\mathbf{k}.
As perguntas são: calcular \mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}, \mathbf{P}\cdot\mathbf{S} e \mathbf{Q}\cdot\mathbf{S}.

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar (passo-a-passo didático):
  • Se dois vetores em coordenadas cartesianas são \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), o produto escalar é dado por
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • Aqui cada a_x,a_y,a_z representa as componentes do vetor \mathbf{a} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, respectivamente; iguais para b_x,b_y,b_z.
  • Intuição rápida: multiplica-se componente a componente e soma-se tudo. Isso dá um número (escalar).
  • Observação útil na prova: com números inteiros pequenos isso é só multiplicar e somar — dá pra fazer de cabeça.
Transformando os vetores dados em componentes:
\mathbf{P}=(2,3,-1),\qquad \mathbf{Q}=(5,-4,3),\qquad \mathbf{S}=(-3,2,-5).

Passo 3

Cálculo de \mathbf{P}\cdot\mathbf{Q} seguindo a fórmula componente a componente:
\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}=2\cdot 5 + 3\cdot(-4) + (-1)\cdot 3.
Agora faço cada multiplicação e a soma:
2\cdot 5 = 10,\qquad 3\cdot(-4)=-12,\qquad (-1)\cdot 3=-3.
Somando:
10 + (-12) + (-3) = 10 -12 -3 = -5.
Portanto o valor obtido é -5.

Passo 4

Cálculo de \mathbf{P}\cdot\mathbf{S}:
\mathbf{P}\cdot\mathbf{S}=2\cdot(-3) + 3\cdot 2 + (-1)\cdot(-5).
Multiplicações:
2\cdot(-3)=-6,\qquad 3\cdot 2=6,\qquad (-1)\cdot(-5)=5.
Somando:
-6 + 6 + 5 = 5.
Logo o resultado é 5.

Passo 5

Cálculo de \mathbf{Q}\cdot\mathbf{S}:
\mathbf{Q}\cdot\mathbf{S}=5\cdot(-3) + (-4)\cdot 2 + 3\cdot(-5).
Multiplicações:
5\cdot(-3)=-15,\qquad (-4)\cdot 2=-8,\qquad 3\cdot(-5)=-15.
Somando:
-15 + (-8) + (-15) = -15 -8 -15 = -38.
Portanto o produto escalar é -38.

Passo 6

Pequeno exemplo extra (pra reforçar a técnica): se \mathbf{u}=(1,0,0) e \mathbf{v}=(0,1,0) então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0,
o que indica que \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais. Dica de prova: sempre faça componente a componente; se der zero, vetores ortogonais.

Resposta

\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}=-5
\mathbf{P}\cdot\mathbf{S}=5
\mathbf{Q}\cdot\mathbf{S}=-38

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