3.9 A barra A B é sustentada pela corda A C. Sabendo que a tração na corda é 1350 N e que c=360 \mathrm{~mm}, determine o momento em relação a B da força exercida pela corda no ponto A, decompondo a força em componentes horizontais e verticais aplicados (a) ao ponto A, (b) ao ponto C.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que está faltando (observei também a imagem enviada e ela não contém a geometria necessária).
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • Tração na corda: \,T=1350\\ \mathrm{N}\,.
    • \,c=360\\ \mathrm{mm}\, (note que isso é igual a \,0{,}360\\ \mathrm{m}\, se for usado como comprimento).
  • O enunciado pede: determinar o momento em relação a B da força exercida pela corda no ponto A, decompondo a força em componentes horizontais e verticais aplicadas
    • (a) ao ponto A,
    • (b) ao ponto C.
  • Informação que falta (necessária para obter valores numéricos):
    • Coordenadas ou posição relativa dos pontos A, B e C (por exemplo: distâncias horizontais/verticais ou comprimento da barra AB e a posição de C).
    • Orientação/ângulo da corda AC (ou qualquer dado geométrico equivalente que permita determinar as componentes horizontais e verticais da força ou as coordenadas de A e C).
  • Observação sobre a imagem enviada: a(s) figura(s) anexada(s) mostram esquemas genéricos sobre produto vetorial / regra da mão direita, mas não trazem a planta/elevação com as posições numéricas de A,B,C. Portanto, com os dados fornecidos até aqui não é possível calcular um valor numérico do momento em relação a B.

Passo 2

Conceito de momento usado (aula rápida e prática).
  • O momento de uma força \, \mathbf{F}\, em relação a um ponto B é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição (do ponto B até o ponto de aplicação da força) e a força:
\mathbf{M}_B=\mathbf{r}_{B\to P}\times\mathbf{F},
onde \mathbf{r}_{B\to P} é o vetor que vai de B até o ponto P onde a força é aplicada.
  • Em problemas planos (força e posição no mesmo plano xy) esse produto vetorial resulta numa componente única perpendicular ao plano (o “momento escalar” tipicamente tomado positivo saindo do plano). Em coordenadas 2D, se
\mathbf{r}=(x,y,0),\qquad \mathbf{F}=(F_x,F_y,0),
então a componente z do momento (o que normalmente queremos) é
M_{Bz}=x\,F_y-y\,F_x,
ou, escrevendo explicitamente com \mathbf{r}=\mathbf{r}_{B\to P}=(x_P-x_B,\;y_P-y_B),
\boxed{\,M_B=(x_P-x_B)\,F_y-(y_P-y_B)\,F_x\,}.
Explicando cada termo:
  • \,x_P-x_B é a componente x do vetor posição \mathbf{r}_{B\to P};
  • \,y_P-y_B é a componente y do vetor posição \mathbf{r}_{B\to P};
  • \,F_x e \,F_y são as componentes horizontal e vertical da força \mathbf{F}.
    Sinal: se M_B>0 você pode adotar a convenção “positivo saindo do plano” (regra da mão direita); se M_B<0 é sentido oposto.

Passo 3

Como decompor a força da corda em componentes horizontais e verticais (mini-aula).
  • Se a corda forma um ângulo \varphi com a horizontal (ou com a vertical, basta saber qual ângulo é dado), e a tração é \,T, então as componentes são:
F_x = T\cos\varphi,\qquad F_y = T\sin\varphi,
onde:
  • \,F_x é a componente horizontal (positiva para a direita),
  • \,F_y é a componente vertical (positiva para cima).
  • Se o ângulo fornecido for com a vertical, ajustar trigonometria (por exemplo se dado o ângulo \theta com a vertical, então F_x=T\sin\theta,\;F_y=T\cos\theta). Portanto é fundamental saber qual é o ângulo e em relação a qual eixo ele foi medido.

Passo 4

Passos práticos para calcular o momento em (a) — componentes aplicadas no ponto A.
  1. Obter as coordenadas de A e B: digamos que A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) (em metros).
  2. Calcular o vetor posição de B a A:
\mathbf{r}_{B\to A}=(x_A-x_B,\;y_A-y_B).
  1. Determinar as componentes \,F_x e \,F_y da tração usando o ângulo da corda conforme no Passo 3.
  2. Aplicar a fórmula do Passo 2:
\boxed{\,M_B^{(a)}=(x_A-x_B)\,F_y-(y_A-y_B)\,F_x\,}.
  1. Unidade final: \mathrm{N\cdot m}. Se as distâncias forem dadas em milímetros converta para metros antes de multiplicar por \mathrm{N}.
Observação física importante (para ajudar na prova): o momento calculado usando as componentes em A corresponde exatamente ao momento da força resultante (a tração T) aplicada em A, porque estamos usando as componentes que somam vetorialmente para dar \mathbf{F}=\mathbf{F}_x+\mathbf{F}_y.

Passo 5

Passos práticos para calcular o momento em (b) — componentes aplicadas no ponto C.
  • Repita o processo do Passo 4 trocando A por C, ou seja:
    1. Obtenha C=(x_C,y_C) e calcule \mathbf{r}_{B\to C}=(x_C-x_B,\;y_C-y_B).
    2. Use as mesmas componentes \,F_x,F_y (a tração não mudou).
    3. Calcule
    \boxed{\,M_B^{(b)}=(x_C-x_B)\,F_y-(y_C-y_B)\,F_x\,}.
  • Observação conceitual importante (muito útil em prova): se o ponto C estiver sobre a mesma linha de ação da força \mathbf{F} que atua em A (ou seja, se C pertence à linha da corda), então a posição ao longo da linha de ação pode mudar, mas a força resultante mantém a mesma linha de ação e, portanto, o momento em relação a B será o mesmo qualquer que seja o ponto escolhido sobre essa linha de ação. Em palavras simples:
    • Se A e C são pontos distintos SOBRE A MESMA linha de ação da força (a mesma reta de tração), então
    M_B^{(a)}=M_B^{(b)}.
    • Se C NÃO estiver na mesma linha de ação (por exemplo se for um ponto deslocado perpendicularmente), então os momentos serão diferentes e deve usar \mathbf{r}_{B\to C} na fórmula acima.

Passo 6

Fórmula pronta para uso rápido (caso típico de barra horizontal com B na origem).
  • Muitas questões colocam B na origem do sistema de coordenadas e a barra ao longo do eixo x. Se for o caso e B=(0,0), A=(x_A,0) (barra horizontal) e a corda faz ângulo \varphi com a horizontal, então:
F_x=T\cos\varphi,\qquad F_y=T\sin\varphi,
e a fórmula do momento reduz a
\boxed{\,M_B = x_A\,F_y - 0\cdot F_x = x_A\,T\sin\varphi\,}.
  • Isso mostra que para uma barra horizontal a distância vertical do ponto de aplicação conta multiplicada pela componente vertical e a distância horizontal multiplicada pela componente vertical conforme a fórmula geral. Sempre atente para a configuração dada no enunciado — neste parágrafo foi feita uma hipótese típica usada com frequência.

Passo 7

Resumo de procedimento que você deverá aplicar na prova (passo a passo que me ajuda quando estiver nervoso):
  1. Identifique e desenhe o sistema de coordenadas; marque A,B,C com coordenadas numéricas.
  2. Converta distâncias para metros ( c=360\\ \mathrm{mm}=0{,}360\\ \mathrm{m}) se necessário.
  3. Calcule \,F_x e \,F_y a partir de T e do ângulo da corda.
  4. Use \mathbf{r}_{B\to P}\times\mathbf{F} (ou a fórmula escalar x_P F_y - y_P F_x) para obter o momento sobre B.
  5. Verifique a linha de ação: se A e C estiverem sobre a mesma linha de ação, os momentos serão iguais; caso contrário, calcule separadamente com \mathbf{r}_{B\to A} e \mathbf{r}_{B\to C}.

Passo 8

Conclusão sobre o enunciado concreto:
  • Com os dados realmente fornecidos (apenas \,T=1350\\ \mathrm{N} e \,c=360\\ \mathrm{mm}) e sem a figura com a posição/ângulo de A,B,C, não é possível obter os valores numéricos pedidos. A resolução numérica exige a posição de A e de C relativamente a B ou o ângulo da corda.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o(s) momento(s) pedido(s) porque falta a configuração geométrica (posições/ângulos que definam as coordenadas de A, B e C); com apenas T=1350\\ \mathrm{N} e c=360\\ \mathrm{mm} não há informação suficiente.

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