3.36 Desenvolva o produto escalar B . C e use o resultado obtido para demonstrar a identidade
\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) desenvolver o produto escalar \mathbf{B}\cdot\mathbf{C}; (ii) usar esse resultado para demonstrar a identidade
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta.
Informações relevantes fornecidas ou implícitas no enunciado/imagem que vamos usar:
  • Existem dois vetores no mesmo plano, chamados aqui de \mathbf{B} e \mathbf{C}, que partem da mesma origem e formam ângulos \alpha e \beta com um mesmo eixo de referência (por exemplo, o eixo x).
  • Podemos assumir que \mathbf{B} e \mathbf{C} são vetores unitários (ou, se não forem, podemos normalizá‑los) para relacionar diretamente o produto escalar com o cosseno da diferença de ângulos.
  • O objetivo final é mostrar que o cosseno da diferença dos ângulos é igual à soma dos produtos dos cossenos e senos correspondentes.

Passo 2

Lembrete (definição geométrica do produto escalar). Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em um plano, o produto escalar é definido por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta,
onde |\mathbf{u}| e |\mathbf{v}| são os comprimentos (normas) dos vetores e \theta é o ângulo entre eles. Explicando cada termo:
  • |\mathbf{u}| é a distância do início ao fim do vetor \mathbf{u}.
  • |\mathbf{v}| idem para \mathbf{v}.
  • \theta é o menor ângulo que leva \mathbf{u} a coincidir com \mathbf{v} (medido no mesmo sentido de referência; para o cosseno só importa a diferença, pois \cos é par).
Se \mathbf{B} e \mathbf{C} são vetores unitários, então |\mathbf{B}|=|\mathbf{C}|=1 e
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=\cos\theta.

Passo 3

Relação entre \theta e \alpha,\beta. Como \alpha e \beta são os ângulos que \mathbf{B} e \mathbf{C} fazem com o mesmo eixo de referência, o ângulo entre \mathbf{B} e \mathbf{C} é \theta=\alpha-\beta (ou \theta=\beta-\alpha; como \cos é par, \cos(\alpha-\beta)=\cos(\beta-\alpha)). Portanto, para vetores unitários:
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=\cos(\alpha-\beta).

Passo 4

Expressar \mathbf{B} e \mathbf{C} em componentes cartesianas. Tomando o eixo x como referência e o eixo y perpendicular no plano, a projeção de um vetor unitário que forma ângulo \varphi com o eixo x é \cos\varphi no eixo x e \operatorname{sen}\varphi no eixo y. Assim podemos escrever:
\mathbf{B}=(\cos\alpha,\;\operatorname{sen}\alpha), \qquad \mathbf{C}=(\cos\beta,\;\operatorname{sen}\beta).
Rápida explicação intuitiva: a componente x é o comprimento da sombra do vetor sobre o eixo x, que é \cos do ângulo; a componente y é a sombra sobre o eixo y, que é \operatorname{sen} do ângulo.

Passo 5

Calcular o produto escalar usando componentes. A definição por componentes em \mathbb{R}^2 é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y.
Aplicando a \mathbf{B} e \mathbf{C}:
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C} = (\cos\alpha)(\cos\beta) + (\operatorname{sen}\alpha)(\operatorname{sen}\beta).
Portanto obtivemos uma expressão algébrica para \mathbf{B}\cdot\mathbf{C}:
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta.

Passo 6

Conectar as duas expressões do produto escalar. Pelos Passos 2 e 3 temos a expressão geométrica
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=\cos(\alpha-\beta),
e pelo Passo 5 a expressão por componentes
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta.
Igualando as duas (já que ambas representam o mesmo produto escalar), concluímos a identidade desejada:
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta.

Resposta

\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta

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