3.36 Desenvolva o produto escalar B . C e use o resultado obtido para demonstrar a identidade
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) desenvolver o produto escalar
; (ii) usar esse resultado para demonstrar a identidade
Informações relevantes fornecidas ou implícitas no enunciado/imagem que vamos usar:
- Existem dois vetores no mesmo plano, chamados aqui de
e , que partem da mesma origem e formam ângulos e com um mesmo eixo de referência (por exemplo, o eixo ). - Podemos assumir que
e são vetores unitários (ou, se não forem, podemos normalizá‑los) para relacionar diretamente o produto escalar com o cosseno da diferença de ângulos. - O objetivo final é mostrar que o cosseno da diferença dos ângulos é igual à soma dos produtos dos cossenos e senos correspondentes.
Passo 2
Lembrete (definição geométrica do produto escalar). Para quaisquer vetores
e
em um plano, o produto escalar é definido por
onde
e
são os comprimentos (normas) dos vetores e
é o ângulo entre eles. Explicando cada termo:
-
é a distância do início ao fim do vetor . -
idem para . -
é o menor ângulo que leva a coincidir com (medido no mesmo sentido de referência; para o cosseno só importa a diferença, pois é par).
Se
e
são vetores unitários, então
e
Passo 3
Relação entre
e
. Como
e
são os ângulos que
e
fazem com o mesmo eixo de referência, o ângulo entre
e
é
(ou
; como
é par,
). Portanto, para vetores unitários:
Passo 4
Expressar
e
em componentes cartesianas. Tomando o eixo
como referência e o eixo
perpendicular no plano, a projeção de um vetor unitário que forma ângulo
com o eixo
é
no eixo
e
no eixo
. Assim podemos escrever:
Rápida explicação intuitiva: a componente
é o comprimento da sombra do vetor sobre o eixo
, que é
do ângulo; a componente
é a sombra sobre o eixo
, que é
do ângulo.
Passo 5
Calcular o produto escalar usando componentes. A definição por componentes em
é
Aplicando a
e
:
Portanto obtivemos uma expressão algébrica para
:
Passo 6
Conectar as duas expressões do produto escalar. Pelos Passos 2 e 3 temos a expressão geométrica
e pelo Passo 5 a expressão por componentes
Igualando as duas (já que ambas representam o mesmo produto escalar), concluímos a identidade desejada: