4.35 A distribuição de temperatura num fluido é dada por T=10 x+5 y, onde x e y são, respectivamente, as coordenadas horizontal e vertical medidas em metros e T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C}. Determine a taxa de variação da temperatura de uma partícula fluida que se desloca (a) horizontalmente com u=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e (b) verticalmente \operatorname{com} \nu=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma distribuição de temperatura no fluido
T = 10x + 5y
e pede a taxa de variação da temperatura para uma partícula que se desloca num campo de velocidades dado. O conteúdo envolvido é o cálculo da derivada material (ou derivada total) de T em função do tempo, que se obtém por
\frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial T}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de T em relação a x e y. Como
T = 10x + 5y,
temos
\frac{\partial T}{\partial x} = 10, \quad \frac{\partial T}{\partial y} = 5.

Passo 3

(a) No deslocamento horizontal a velocidade é \displaystyle \frac{dx}{dt}=u=20,m/s e \displaystyle \frac{dy}{dt}=0. Substituindo em
\frac{dT}{dt} = 10\cdot\frac{dx}{dt} + 5\cdot\frac{dy}{dt}
vem
\frac{dT}{dt} = 10\cdot20 + 5\cdot0 = 200.

Passo 4

(b) No deslocamento vertical a velocidade é \displaystyle \frac{dx}{dt}=0 e \displaystyle \frac{dy}{dt}=v=20,m/s. Substituindo em
\frac{dT}{dt} = 10\cdot\frac{dx}{dt} + 5\cdot\frac{dy}{dt}
vem
\frac{dT}{dt} = 10\cdot0 + 5\cdot20 = 100.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dT}{dt}=200, ^\circ\mathrm{C/s}
(b) \displaystyle \frac{dT}{dt}=100, ^\circ\mathrm{C/s}

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