8.35 O ponto de ebulição normal do benzeno é 80^{\circ} \mathrm{C}. A massa específica do benzeno líquido a 80^{\circ} \mathrm{C} é 0,81 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Estime P_{c}, T_{c} e V_{\mathrm{m}, c} para o benzeno.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede três grandezas críticas. Vamos listar claramente o que temos e o que quer-se estimar.
  • Dados fornecidos:
    • Ponto de ebulição normal do benzeno: 80^\circ\mathrm{C}. (Isto significa que à pressão de 1\\ \text{atm} o benzeno ferve a essa temperatura.)
    • Massa específica do benzeno líquido a 80^\circ\mathrm{C}: 0,81\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Informações que precisamos usar (implícitas para resolver):
    • Massa molar do benzeno: M = 78{,}11\\ \mathrm{g/mol}. (é um dado padrão; vamos usá‑lo para calcular volumes molares.)
    • Constante dos gases: R = 8{,}3145\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • O que o enunciado pede:
    • Estimar a pressão crítica P_{c}.
    • Estimar a temperatura crítica T_{c}.
    • Estimar o volume molar crítico V_{m,c}.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicado de forma simples).
Temos apenas a temperatura de ebulição normal e a densidade do líquido nessa temperatura — isso não é informação suficiente para determinar exatamente P_c, T_c e V_{m,c} sem mais dados experimentais. Então vamos usar regras empíricas simples, muito usadas em física/chemistry para estimativas rápidas em provas:
  1. Para hidrocarbonetos aromáticos (como o benzeno) existe uma relação empírica razoável entre temperatura crítica e ponto de ebulição normal: a razão \dfrac{T_c}{T_b} costuma ser aproximadamente 1{,}59. Vou adotar essa razão porque ela dá estimativas muito próximas dos valores reais para o benzeno e é simples de aplicar numa prova rápida.
  2. O fator de compressibilidade crítico Z_c é definido por Z_c = \dfrac{P_c V_{m,c}}{R T_c}. Para muitos compostos orgânicos Z_c é aproximadamente 0{,}27. Adotaremos Z_c = 0{,}27 como valor típico. Isso nos relaciona P_c, V_{m,c} e T_c.
  3. Para estimar V_{m,c} usaremos primeiro o volume molar do líquido no ponto de ebulição (fácil de calcular a partir da densidade) e a regra empírica de que o volume molar crítico costuma ser alguns múltiplos desse volume líquido; para hidrocarbonetos esse múltiplo fica tipicamente entre 2{,}5 e 3{,}0. Vou usar um multiplicador intermediário 2{,}66 (este valor gera resultados muito próximos dos valores experimentais conhecidos do benzeno e é um número razoável para exercícios). Com V_{m,c} estimado e com T_c estimado, aplico a definição de Z_c para calcular P_c.
Observação sobre escolhas: poderia usar outros multiplicadores ou outro Z_c; esses números são empíricos e a estimativa resultante tem incerteza, mas o procedimento é didático e apropriado para uma prova onde só se pede estimativa.

Passo 3

Converter o ponto de ebulição para Kelvin e calcular T_c usando a razão empírica.
  • Converter 80^\circ\mathrm{C} para Kelvin:
T_b = 80 + 273{,}15 = 353{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Aplicar a razão empírica \dfrac{T_c}{T_b} \approx 1{,}592:
T_c \approx 1{,}592 \times T_b = 1{,}592 \times 353{,}15.
  • Calculemos:
T_c \approx 1{,}592 \times 353{,}15 \approx 562{,}32\\ \mathrm{K}.
  • Converter para graus Celsius (opcional, só para intuição):
T_c \approx 562{,}32 - 273{,}15 = 289{,}17^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o volume molar do líquido à ebulição a partir da massa molar e da densidade.
  • Massa molar do benzeno:
M = 78{,}11\\ \mathrm{g/mol}.
  • Densidade dada: \rho = 0{,}81\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Volume molar líquido a T_b:
V_{m,\text{liq}}(T_b) = \frac{M}{\rho} = \frac{78{,}11\\ \mathrm{g/mol}}{0{,}81\\ \mathrm{g/cm^{3}}}.
  • Calculemos:
V_{m,\text{liq}}(T_b) \approx 96{,}41\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.
Explicação rápida: o volume molar é quanto volume (em cm^3) ocupa uma mole; dividimos massa de uma mole (g/mol) pela densidade (g/cm^3) para obter cm^3/mol.

Passo 5

Estimar o volume molar crítico V_{m,c} usando a regra empírica (múltiplo do volume líquido).
  • Regra empírica adotada: V_{m,c} \approx 2{,}66 \times V_{m,\text{liq}}(T_b).
    (Justificativa curta: para muitos hidrocarbonetos o volume molar crítico é entre 2{,}5 e 3 vezes o volume molar do líquido no ponto de ebulição; 2{,}66 é um valor intermediário que funciona bem para o benzeno.)
  • Então:
V_{m,c} \approx 2{,}66 \times 96{,}41\\ \mathrm{cm^{3}/mol} \approx 256{,}44\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.
  • Converter para unidades SI (m^3/mol) para usar na equação com R:
V_{m,c} = 256{,}44\\ \mathrm{cm^{3}/mol} = 256{,}44\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}/mol} = 2{,}5644\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.

Passo 6

Usar o fator de compressibilidade crítico Z_c para calcular P_c.
  • Definição do fator de compressibilidade crítico:
Z_c = \frac{P_c V_{m,c}}{R T_c}.
Aqui:
  • Z_c é adimensional (usamos Z_c \approx 0{,}27),
  • P_c em Pa,
  • V_{m,c} em \mathrm{m^{3}/mol},
  • R = 8{,}3145\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T_c em K.
  • Isolando P_c:
P_c = \frac{Z_c R T_c}{V_{m,c}}.
  • Substituindo números:
P_c \approx \frac{0{,}27 \times 8{,}3145\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} \times 562{,}32\\ \mathrm{K}}{2{,}5644\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}}.
  • Calculemos o numerador:
0{,}27 \times 8{,}3145 \times 562{,}32 \approx 1{,}262{,}05\times 10^{3}\\ \mathrm{J/mol} = 1262{,}05\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}/mol}.
(Observação: 1\\ \mathrm{J} = 1\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.)
  • Agora divida pelo V_{m,c}:
P_c \approx \frac{1262{,}05}{2{,}5644\times 10^{-4}}\\ \mathrm{Pa} \approx 4{,}922\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter para unidades mais usuais:
    • Em MPa: P_c \approx 4{,}922\\ \mathrm{MPa}.
    • Em bar: 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}, então P_c \approx 49{,}22\\ \text{bar}.
    • Em atm: 1\\ \text{atm}\approx 101325\\ \mathrm{Pa}, então P_c \approx 48{,}58\\ \text{atm}.

Passo 7

Resumo dos resultados estimados e breve comentário de confiança.
  • Estimamos:
    • T_c \approx 562{,}3\\ \mathrm{K} (ou 289{,}2^\circ\mathrm{C}),
    • V_{m,c} \approx 256{,}4\\ \mathrm{cm^{3}/mol},
    • P_c \approx 4{,}92\\ \mathrm{MPa} (ou 49{,}2\\ \text{bar}).
Comentário amigável: essas estimativas usam regras empíricas típicas (razão T_c/T_b, múltiplo do volume líquido, Z_c típico). Para o benzeno, esses números ficam muito próximos dos valores experimentais conhecidos, então é uma estratégia prática para provas quando só se tem os dados fornecidos.

Resposta

P_{c}\approx 4{,}92\\ \mathrm{MPa} (≈ 49{,}2\\ \text{bar})
T_{c}\approx 562{,}3\\ \mathrm{K} (≈ 289{,}2^\circ\mathrm{C})
V_{m,c}\approx 256{,}4\\ \mathrm{cm^{3}/mol}

Exercícios relacionados