Para o etano, P_{c}=48,2 \mathrm{atme} T_{c}=305,4 \mathrm{~K}. Calcule a pressão exercida por 74,8 \mathrm{~g} de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} em um recipiente de 200 \mathrm{~cm}^{3} a 37,5^{\circ} \mathrm{C} aplicando a equação de Redlich-Kwong;

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a pressão exercida por uma certa massa de etano num recipiente pequeno aplicando a equação de Redlich–Kwong. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
  • Massa: 74{,}8\\ \mathrm{g} de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}.
  • Volume do recipiente: 200\\ \mathrm{cm}^{3}. (Vou converter para litros mais adiante.)
  • Temperatura: 37{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão crítica do etano: P_{c}=48{,}2\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura crítica do etano: T_{c}=305{,}4\\ \mathrm{K}.
    O que é pedido: a pressão P do etano no recipiente àquela temperatura e quantidade, usando a equação de Redlich–Kwong (ou seja, não usar a equação dos gases ideais).

Passo 2

Conversões e cálculo do número de mols — passo inicial obrigatório:
  • Converter volume: 200\\ \mathrm{cm}^{3}=200\\ \mathrm{mL}=0{,}200\\ \mathrm{L}.
  • Converter temperatura para Kelvin:
T=37{,}5^\circ\mathrm{C}=37{,}5+273{,}15=310{,}65\\ \mathrm{K}.
  • Massa molar do etano: M(\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6})=30{,}07\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • Número de mols:
n=\frac{74{,}8\\ \mathrm{g}}{30{,}07\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}\approx 2{,}488\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Calcular o volume molar médio V_{m} (volume por mol), que é a quantidade que aparece na equação de estado:
V_{m}=\frac{V}{n}=\frac{0{,}200\\ \mathrm{L}}{2{,}488\\ \mathrm{mol}}\approx 0{,}08037\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
Interpretação prática: cada mol ocupa \approx0{,}0804\\ \mathrm{L}, ou seja o sistema está muito comprimido — esperado pressão alta.

Passo 4

Apresentar a equação de Redlich–Kwong e explicar os parâmetros:
A forma usual da equação de Redlich–Kwong (para uma espécie pura) é
P=\frac{RT}{V_{m}-b}-\frac{a}{\sqrt{T}\;V_{m}(V_{m}+b)}.
Explicação dos termos:
  • P é a pressão procurada.
  • R é a constante universal dos gases.
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
  • V_{m} é o volume molar ( \mathrm{L\cdot mol^{-1}}).
  • a e b são parâmetros específicos da substância que corrigem as interações (o termo com a representa a atração intermolecular; b corrige o volume disponível).
    Fórmulas empíricas (parâmetros RK):
a=0{,}42748\frac{R^{2}T_{c}^{2{,}5}}{P_{c}},\qquad b=0{,}08664\frac{R T_{c}}{P_{c}}.
Escolha de unidades: vou usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} para que a pressão venha em \mathrm{atm}, volume em \mathrm{L}.

Passo 5

Calcular a com todos os detalhes (mostrando cada multiplicação):
  • Primeiro R^{2}=(0{,}082057)^{2}\approx 0{,}006734\\ \mathrm{L^{2}\cdot atm^{2}\cdot mol^{-2}\cdot K^{-2}}.
  • Calcular T_{c}^{2{,}5}=T_{c}^{2}\sqrt{T_{c}}. Com T_{c}=305{,}4\\ \mathrm{K}:
T_{c}^{2}=305{,}4^{2}=93\,269{,}16,\qquad \sqrt{T_{c}}\approx 17{,}476,
T_{c}^{2{,}5}=93\,269{,}16\times17{,}476\approx 1{,}629\,972\times10^{6}.
  • Agora montar a:
a=0{,}42748\cdot\frac{0{,}006734\cdot 1{,}629\,972\times10^{6}}{48{,}2}.
Calcule o numerador interno:
0{,}006734\times1{,}629\,972\times10^{6}\approx 10\,971{,}6,
então
0{,}42748\times10\,971{,}6\approx 4\,690{,}5,
por fim
a\approx\frac{4\,690{,}5}{48{,}2}\approx 97{,}29\\ \mathrm{L^{2}\cdot atm\cdot mol^{-2}}.
(Arredondei para três algarismos significativos no final.)

Passo 6

Calcular b com detalhes:
b=0{,}08664\frac{R T_{c}}{P_{c}}=0{,}08664\frac{0{,}082057\times305{,}4}{48{,}2}.
Calcule R T_{c}:
R T_{c}=0{,}082057\times305{,}4\approx25{,}491\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}}.
Multiplicando:
0{,}08664\times25{,}491\approx2{,}1708.
Agora dividir por P_{c}:
b\approx\frac{2{,}1708}{48{,}2}\approx0{,}04501\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.

Passo 7

Substituir valores na equação de Redlich–Kwong e calcular cada termo:
Relembrando V_{m}\approx0{,}08037\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}, T=310{,}65\\ \mathrm{K}, a\approx97{,}29, b\approx0{,}04501, R T \approx25{,}491.
Primeiro termo (termo repulsivo-like):
\frac{RT}{V_{m}-b}=\frac{25{,}491}{0{,}08037-0{,}04501}=\frac{25{,}491}{0{,}03536}\approx720{,}8\\ \mathrm{atm}.
Segundo termo (termo de atração):
  • Calcular \sqrt{T}\approx\sqrt{310{,}65}\approx17{,}628.
  • Calcular V_{m}(V_{m}+b)=0{,}08037\times(0{,}08037+0{,}04501)=0{,}08037\times0{,}12538\approx0{,}01008\\ \mathrm{L^{2}\cdot mol^{-2}}.
  • Multiplicar por \sqrt{T}: 17{,}628\times0{,}01008\approx0{,}17784.
  • Então
\frac{a}{\sqrt{T}\;V_{m}(V_{m}+b)}\approx\frac{97{,}29}{0{,}17784}\approx547{,}0\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Subtrair os termos para obter a pressão P:
P=\frac{RT}{V_{m}-b}-\frac{a}{\sqrt{T}\;V_{m}(V_{m}+b)}\approx720{,}8-547{,}0\approx173{,}8\\ \mathrm{atm}.
Interpretação: o resultado é uma pressão muito alta (centenas de atm) porque o volume disponível por mol é muito pequeno ( \sim0{,}08\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}). O cálculo usou a correção de Redlich–Kwong, que reduz a pressão prevista pela equação ideal (porque a atração intermolecular diminui a pressão efetiva).

Resposta

\;173{,}8\\ \mathrm{atm}

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