Para o etano, P_{c}=48,2 \mathrm{atme} T_{c}=305,4 \mathrm{~K}. Calcule a pressão exercida por 74,8 \mathrm{~g} de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} em um recipiente de 200 \mathrm{~cm}^{3} a 37,5^{\circ} \mathrm{C} aplicando a equação do virial, dado que, para o etano, B=-179 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol} e C=10400 \mathrm{~cm}^{6} / \mathrm{mol}^{2} a 30^{\circ} \mathrm{C}, e B=-157 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol} e C=9650 \mathrm{~cm}^{6} / \mathrm{mol}^{2} a 50^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a pressão exercida por \;74,8\\ \mathrm{g} de etano em um recipiente de \;200\\ \mathrm{cm}^3 à temperatura de \;37{,}5^\circ\mathrm{C}, usando a equação do virial. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Massa do etano: } m=74{,}8\\ \mathrm{g},\\\ &\text{Volume do recipiente: } V=200\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &\text{Temperatura: } T=37{,}5^\circ\mathrm{C}=310{,}65\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Coefs. do virial para etano a }30^\circ\mathrm{C}:\; B_{30}=-179\\ \mathrm{cm}^3\!\!/\mathrm{mol},\; C_{30}=10400\\ \mathrm{cm}^6\!\!/\mathrm{mol}^2,\\\ &\text{Coefs. do virial para etano a }50^\circ\mathrm{C}:\; B_{50}=-157\\ \mathrm{cm}^3\!\!/\mathrm{mol},\; C_{50}=9650\\ \mathrm{cm}^6\!\!/\mathrm{mol}^2. \end{aligned}
O que precisamos encontrar: \;P (pressão) nas unidades de atmosfera (vou manter atm porque os coefs. estão em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} e usarei R em unidades compatíveis).

Passo 2

Qual equação do virial usar e o significado das grandezas. A forma em função do volume molar \;V_m é a conveniente aqui:
\frac{P V_m}{R T} = 1 + \frac{B}{V_m} + \frac{C}{V_m^2}.
Explicando cada símbolo (com linguagem simples):
  • \;P é a pressão que queremos (unidade: atm).
  • \;V_m é o volume molar, isto é o volume por mol: \;V_m=\dfrac{V}{n} (unidade: \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}).
  • \;T é a temperatura em kelvin.
  • \;R é a constante universal dos gases na mesma unidade volumétrica que \;B e \;C: uso \;R=82{,}057\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{atm}\!\cdot\!\mathrm{K}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1} (porque 0{,}082057\\ \mathrm{L\,atm\,K^{-1}\,mol^{-1}} =82{,}057\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{atm}\!\cdot\!\mathrm{K}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}).
  • \;B e \;C são os segundo e terceiro coeficientes do virial, medidos em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} e \mathrm{cm}^6/\mathrm{mol}^2 respectivamente; eles corrigem o comportamento ideal por interações de pares (B) e trios (C) de moléculas.
Vou usar essa forma e calcular \;V_m, interpolar \;B e \;C para 37{,}5^\circ\mathrm{C}, e substituir.

Passo 3

Calcular o número de mols \;n do etano. Primeiro a massa molar do etano \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6:
M = 2\cdot 12{,}011 + 6\cdot 1{,}008 \approx 30{,}07\\ \mathrm{g/mol}.
Logo
n=\frac{m}{M}=\frac{74{,}8}{30{,}07}\approx 2{,}488\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Calcular o volume molar \;V_m:
V=200\\ \mathrm{cm}^3\quad\Rightarrow\quad V_m=\frac{V}{n}=\frac{200}{2{,}488}\approx 80{,}387\\ \mathrm{cm}^3\!/\mathrm{mol}.
(Anote: mantenho cm^3 para compatibilidade com \;B e \;C.)

Passo 5

Interpolação linear de \;B e \;C para 37{,}5^\circ\mathrm{C}. A temperatura desejada está a 7{,}5^\circ\mathrm{C} acima de 30^\circ\mathrm{C} num intervalo total de 20^\circ\mathrm{C} entre 30 e 50, logo o fator é \;f=\dfrac{7{,}5}{20}=0{,}375.
Interpolando:
\begin{aligned} B_{37{,}5} &= B_{30} + f\,(B_{50}-B_{30}) = -179 + 0{,}375\cdot(-157 +179)\\\ &= -179 + 0{,}375\cdot 22 = -179 + 8{,}25 = -170{,}75\\ \mathrm{cm}^3\!/\mathrm{mol},\\[6pt] C_{37{,}5} &= C_{30} + f\,(C_{50}-C_{30}) = 10400 + 0{,}375\cdot(9650-10400)\\\ &= 10400 + 0{,}375\cdot(-750) = 10400 - 281{,}25 = 10118{,}75\\ \mathrm{cm}^6\!/\mathrm{mol}^2. \end{aligned}
(Justificativa rápida: para pouca variação de temperatura a interpolação linear é uma aproximação razoável.)]

Passo 6

Calcular os termos \dfrac{B}{V_m} e \dfrac{C}{V_m^2}. Primeiro \;V_m^2:
V_m^2=(80{,}387)^2 \approx 6462{,}0698\\ \mathrm{cm}^6\!/\mathrm{mol}^2.
Agora
\frac{B}{V_m}=\frac{-170{,}75}{80{,}387}\approx -2{,}12364, \qquad \frac{C}{V_m^2}=\frac{10118{,}75}{6462{,}0698}\approx 1{,}56587.

Passo 7

Calcular o fator compressibilidade (termos do virial):
Z\equiv\frac{P V_m}{R T}=1+\frac{B}{V_m}+\frac{C}{V_m^2}=1-2{,}12364+1{,}56587\approx 0{,}44223.

Passo 8

Isolar \;P e calcular numericamente. Da equação:
P=\frac{R T}{V_m}\;Z.
Calcular R T:
R T = 82{,}057\cdot 310{,}65 \approx 25491{,}01\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{atm}\!/\!\mathrm{mol}.
Dividindo por \;V_m:
\frac{R T}{V_m}=\frac{25491{,}01}{80{,}387}\approx 317{,}104\\ \mathrm{atm}.
Multiplicando por \;Z:
P = 317{,}104\times 0{,}44223 \approx 140{,}22\\ \mathrm{atm}.

Passo 9

Interpretação e arredondamento final: com as entradas dadas (massa com 3 dígitos, B e C aproximados), um resultado com três algarismos significativos é adequado. Também faço um aviso prático: essa pressão é bem alta — o comportamento desvia muito do ideal por causa do pequeno volume molar usado, e por isso os termos viriais tiveram grande efeito.

Resposta

140{,}2\\ \mathrm{atm}

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